Question

如图,ABCD为圆O的内接四边形,EB是圆O的直径,且EB⊥AD,AD与BC的延长线交于F,求证:AB*DC=BC*FD.

图不是很好，凑合看看。

Answer 1

证明：连接CE，设BE与AD相交于点G
因为BE是圆O的直径
所以角BCE=90度
所以角E+角CBE=90度
因为BE垂直AD
所以角BGF=90度
所以角F+角CBE=90度
所以角F=角E
因为角E=角A
所以角A=角F
角ABC=角FDC
所以三角形ABC和三角形CDF相似（AA)
所以BC/DC=AB/FD
所以AB*DC=BC*FD

追问

∠A是指∠BAC吗？为什么等于∠E？是用圆周角定理吗？

追答

角A是指角BAC
角BAC=角E=1/2弧BC
是用的圆周角定理

Answer 2

连接BD
因为EB是圆O的直径，且EB⊥AD
所以BD=AB，∠BDA=∠A
因为ABCD是圆内接四边形
所以∠A+∠DCB=180°
因为∠BDA=∠A，∠BDA+∠BDF=180°
所以∠BDF=∠A
因为∠FBD=∠FBD
所以△BDF∽△BCD
所以BD：FD=BC：DC
即BD*DC=BC*FD
因为BD=AB
所以AB*DC=BC*FD