Question

已知二次函数f（x）=ax∧2+bx满足f（2）=0

已知二次函数f（x）=ax∧2+bx满足f（2）=0,且方程f（x）=x有相等的实根 （1）求f（x）解析式 （2）求f（x）的值域 （3）是否存在实数m,n（m＜n）,使f（x）的定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n],若存在，求出m,n旳值，若不存在，请说明理由。 谢谢！求权威啊～！
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Answer 1

1)f(x)=x有等根，即ax^2+(b-1)x=0有等根，所以delta=(b-1)^2=0,得：b=1
由f(2)=0,得：4a+2b=0,有a=-1/2
故f(x)=-1/2*x^2+x
2) f(x)=-1/2*(x-1)^2+1/2<=1/2
值域为(-∞,1/2]
3)f(x)的极大值点为f(1)=1/2
若[m,n]包含1，即n>1>m则最大值=1/2=4n, 得：n=1/8,矛盾
若n>m>1,则在[m,n]单调减，最大值为f(m)=4n, -1/2*m^2+m=4n
最小值为f(n)=4m, -1/2n^2+n=4m
两式相减得：-1/2*(m^2-n^2)+5m-5n=0
得：m=10-n
再代入其中一个方程：-1/2 n^2+n=4(10-n), 此方程没实根
若m<n<1, 则在[m,n]单调增，最大值为f(n)=4n, 最小值为f(m)=4m
即m,n为方程-1/2t^2+t=4t的两个根，此方程的根为0, -6
所以m=-6, n=0即满足条件

Answer 2

f（x）=ax²+bx
f(2)=4a+2b=0
得 2a+b=0
f(x)=x有相等的实根
即 f(x)=ax²+bx=x
ax²+(b-1)x=0
△=(b-1)²-4a*0=0
得b=1 a=-1/2
(1) f(x)解析式为 y=-1/2x²+x
(2) y=-1/2(x-1)²+1/2
值域：[1/2，+∞]
(3) 假设定义域和值域分别为[m，n]和[4m，4n]
y=-1/2m²+m=4m
得 m=0，m=-6
y=-1/2n²+n=4n
得 n=0，n=-6
故m=0，n=-6 或n=-6，m=0