Question

矩阵A=（1 0 0，0 1 0，0 0 2）与矩阵（ ）相似？

A（1 0 0,0 2 0，0 0 1）B（1 1 0，0 1 0，0 0 2）
C（1 0 0,0 1 1，0 0 2）D（1 0 1，0 2 0，0 0 1）

哪个对？ 选项A与题设都是对角矩阵，能相似吗？
问个问题： 表述秩时，r(C-E) =2 为什么选C-E？ 能否E-C？ 选择C-E有什么原因，或者有什么习惯？

Answer 1

A 正确
实对称矩阵, 相似<=>特征值相同

追问

答案C为什么错？

按照定义，要找到可逆矩阵P 使P-1 B P=A 才能说相似？答案A的可逆矩阵P是什么？
C为什么错了？

追答

1. C 的特征值尽管也是 1,1,2
但它不能对角化

2. 这题目不必找P, 理论说明就行了.
你若叫劲, 那也没法哈. 初等矩阵 P =
1 0 0
0 0 1
0 1 0
即可

追问

K重特征值正好有k个线性无关的特征向量，则方阵可对角化，这句话对吗？

答案C是不是满足此条件？

追答

1. 对, 且是充要条件
2. r(C-E) = 2, 所以属于特征值1的线性无关的特征向量只有1个, 故C不能对角化

追问

啊，恕我在概念上有点不解，r(C-E)是指秩，C-E是矩阵：
0 0 0
0 0 1
0 0 1
吗？
这秩是2？

追答

1? 我看错了! 只想答案是唯一的了.
r(C-E)=1.
C确实与A相似
那这题目...?

追问

能否求求C的可逆P？

怎我求的1 0 0,0 1 1,0 0 1却不能相似？

我求错了吗？

追答

P=
1 0 0
0 1 1
0 0 1

追问

非常感谢！

还有个问题？
通常我求P，是通过求线性无关的特征向量组成，而且得到相似矩阵是对角化-对角线上是顺序的特征值，而此题中答案A本身就是对角矩阵，怎么求得P得到题设的对角矩阵A呢？

追答

P^-1CP = A ,
PAP^-1 = C
C与A相似, 则A与C相似