Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC、BC，过点C的直线与AB的延长线交于点P

∠COB=2∠PCB．AC=PC
1）求证：PC是⊙O的切线；

2）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，求证MN*MC=AB*BC

Answer 1

（1）因为∠CAO+∠ACO=∠COB，而OA=OC，所以△AOC为等腰△，∠CAO=∠ACO
所以，2∠CAO=∠COB
又因为∠COB=2∠PCB，所以∠PCB=∠CAO，PC是⊙O的切线。
（2）因为AC=PC，所以△ACP为等腰△，∠A=∠P；由（1）得∠PCB=∠CAO
所以△AOC≌△CBP，BC=OC=OA，BC=AB/2
因为点M是弧AB的中点，所以∠NBM=∠BCM；
又因为∠M为公共角，所以△MBC∽△BNM，MB²=MN*MC
连接AM，因为AB为圆O直径，所以△AMB为直角△，因为点M是弧AB的中点，所以∠BAM=∠ABM
所以△AMB为等腰RT△，MB=（根号2/2）*AB
所以MB²=AB*AB/2=AB*BC，所以MN*MC=AB*BC

Answer 2

（1）证明：∵OA=OC，∴∠A=∠ACO
∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB
∴∠A=∠ACO=∠PCB
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACO+∠OCB=90°
∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP
∵OC是⊙O的半径
∴PC是⊙O的切线