Question

matlab解带参数的非线性方程组

三个固定点坐标已知A（X1,Y1）,B（X2,Y2）,C（X3，Y3）。未知点（X,Y）。未知点到A/B距离差为det_ab，到B/C距离差为det_bc，到A/C距离差为det_ac;
求解未知点坐标？
想写成一个函数，输入参数是A/B/C坐标和三个距离差。输出为未知点的坐标。
求写出matlab代码~

另外，假如我这三个距离差有一定的误差，那么求解的时候怎样得到最优解呢？

Answer 1

由于方程个数3>未知数个数2，且涉及到距离的计算，所以原问题是求解一个超定（非线性）方程组．平方和形式这里采用最小二乘法解决（n个定点与未知点的计算，n>=2）：

先建立pfun.m文件：

 

%给出待求点p(x,y)的初值p0

%n个定点的坐标x0,y0

%中间相邻两定点到p的距离差（最后一个点与起点求差）

function [p,norm,res,exit,out]=pfun(p0,x0,y0,det)

 

%判断det输入的正确性

n=length(det);

for i=1:n-1

  if abs(det(i))>sqrt((x0(i)-x0(i+1))^2+(y0(i)-y0(i+1))^2);

     error('abs(det) is greater than the disdance of two point')

  end

end

if abs(det(n))>sqrt((x0(n)-x0(1))^2+(y0(n)-y0(1))^2)

   error('abs(det) is greater than the disdance of two point')

end   

 

%下降算法采用Levenberg-Marquardt法

%函数调用最大次数为1000

%由用户定义目标函数的雅可比矩阵

opt1=optimset('LargeScale','off','MaxFunEvals',1000,'Jacobian','on'); 

%用非线性最小二乘命令求p(x,y),x=p(1),y=p(2)

[p,norm,res,exit,out]=lsqnonlin(@dfun,p0,[],[],opt1,x0,y0,det);

 

 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 

 %建立含雅可比矩阵的pfun.m文件

function [f,g]=dfun(p,x0,y0,det)

n=length(det);

for i=1:n-1

  f(i)=sqrt((p(1)-x0(i))^2+(p(2)-y0(i))^2)-...

       sqrt((p(1)-x0(i+1))^2+(p(2)-y0(i+1))^2)-det(i);

end

f(n)=sqrt((p(1)-x0(n))^2+(p(2)-y0(n))^2)-...

     sqrt((p(1)-x0(1))^2+(p(2)-y0(1))^2)-det(n);

 

%当函数用两个输出参数调用时

if nargout>1

%计算雅可比矩阵

  for i=1:n-1

     g(i,1)=(p(1)-x0(i))/sqrt((p(1)-x0(i))^2+(p(2)-y0(i))^2)-...

            (p(1)-x0(i+1))/sqrt((p(1)-x0(i+1))^2+(p(2)-y0(i+1))^2);

     g(i,2)=(p(2)-y0(i))/sqrt((p(1)-x0(i))^2+(p(2)-y0(i))^2)-...

            (p(2)-y0(i+1))/sqrt((p(1)-x0(i+1))^2+(p(2)-y0(i+1))^2);

  end

  g(n,1)=(p(1)-x0(n))/sqrt((p(1)-x0(n))^2+(p(2)-y0(n))^2)-...

         (p(1)-x0(1))/sqrt((p(1)-x0(1))^2+(p(2)-y0(1))^2);

  g(n,2)=(p(2)-y0(n))/sqrt((p(1)-x0(n))^2+(p(2)-y0(n))^2)-...

         (p(2)-y0(1))/sqrt((p(1)-x0(1))^2+(p(2)-y0(1))^2);

end

 

 

例如各点关系如下：

 

输入：

x0=[0.5,0,0];

y0=[2+sqrt(3)/2,2,0];

det=[sqrt(3)-2,2-2*sqrt(2),2*sqrt(2)-sqrt(3)];

p0=[1,1];

[p,norm,res,exit,out]=pfun(p0,x0,y0,det)

输出：

p =

    2.0000    2.0000

Answer 2

1、问题分析：
到两点距离差为定值的点形成双曲线，你的问题相当于求三组双曲线的交点。
很显然，除非特殊情况（三个距离差满足一定约束），很难保证三组曲线交于一点。
如果如你所说“距离差有一定误差”，也就是不满足约束的条件，问题无解。在这种情况
下求解，一般按照最小二乘的规则，也就是说，使得未知点举例三个固定点的实际距离差
与给定距离差的总误差最小。这其实是一个优化问题。

2、问题描述：
如果用dA表示未知点到A点距离，dAB表示未知点到A、B两点的距离差（B、C类似），则
优化的目标函数可表示为
J = ( |dA-aB| - dAB )^2 + ( |dB-dC| - dBC )^2 + ( |dC-dA| - dCA )^2

3、程序说明
程序中把所需变量直接赋值，A、B、C为包括两个元素的向量，为固定点的坐标，dAB、
dBC、dCA为三个距离差。测试数据使用正三角形的顶点，距离差加了误差。
你要求写成函数的形式，从所给的代码很容易修改（把所需参数通过函数传入即可）。
由于程序中使用了匿名函数，所以必须在7.0以上版本使用。

function zd527752423

% 测试数据：正三角形的顶点
R = 5;
A = [R 0];
B = R*[cos(2*pi/3) sin(2*pi/3)];
C = R*[cos(4*pi/3) sin(4*pi/3)];

% 到三个顶点的距离差（理想情况三个都是0，现加入误差）
dAB = 0.1;
dBC = 0;
dCA = 0.2;

% 目标函数
J = @(x) (abs(d(x,A)-d(x,B))-dAB)^2 + (abs(d(x,B)-d(x,C))-dBC)^2 + (abs(d(x,C)-d(x,A))-dCA)^2;

% 调用优化算法求解，得到结果即为未知点坐标（X,Y）
x = fminsearch(J,[1 1]);
fprintf('\n未知点坐标：(%g, %g)\n',x);

% 绘图
pts = [A;B;C];
plot(pts(:,1), pts(:,2), 'o')
hold on
plot(x(1),x(2),'rx')
axis equal

function dis = d(p1, p2)
% 计算两点间距离的函数
dis = norm(p1-p2);