Question

设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在（0，1）上可导，且f(0)=f(1)=0，f(1/2)=1

设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在（0，1）上可导，且f(0)=f(1)=0，f(1/2)=1,求证：
⑴存在η属于(1/2，1)，使f(η)=η
⑵对λ属于R,存在ξ属于(0，η)，使f'(ξ)-λ(f(ξ)-ξ)=1

已知函数f(x)在区间[0，1]上连续，在（0，1）上可导，且f(0)=0，f(1)=1，f(x)是x的非线性函数，证明在(0，1)内至少存在一点ξ，使f'(ξ)＞1
格式不太清晰，一共有两个题，都是关于中值定理的，第一个题目有两个小问⑴和⑵，“已知……”是第二个题目。希望在三天内得到结果，谢谢！

Answer 1

一、
1、令F（x）=f(x)-x
则F（1/2)=1/2, F（1）=-1
有零点定理知，F（x）在（1/2 ，1）上有零点，故存在η属于(1/2，1)，使f(η)=η
2、原式=f(x)'-1-λ(f(x)-x)=0
令F（x）=( f(x)-x )/e^λx
易知F(0)=0，F(η)=0
所以存在ξ属于(0，η)，使得F‘(x)=0
又因为F’(x)=（ f(x)'-1-λ(f(x)-x) ）/e^λx
所以存在ξ属于(0，η)，使f'(ξ)-λ(f(ξ)-ξ)=1。

二、
用反证法
若对于任意的x属于(0，1)，都有f‘(x)小于等于1
易知f（x）小于等于1，当f‘(x)恒等于1时等号成立，
又因为f(x)是x的非线性函数，所以f‘(x)不恒等于1
所以f(1)小于1，与已知矛盾
所以在(0，1)内至少存在一点ξ，使f'(ξ)＞1

Answer 2

大学教材里有啊，很基本的。

追问

初学者，详细点……我们教材可能不一样呀……