Question

已知函数f(x)=(-x+ax)e^x在(-1,1)上单调递增，求a的取值范围

已知函数f(x)=(-x+ax)e^x在(-1,1)上单调递增，求a的取值范围。
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Answer 1

设h(x)=-x^2+ax,j(x)=e^x
则f(x)=h(x)·j(x)
很明显j(x)在给定定义域内单调递增（因为其为指数函数且底数大于1）
要使f(x)在该定义域内单调递增，则必须h(x)在该定义域内也单调递增
而h(x)=-x^2，是开口向下的二次函数

要使其在(-1,1)单调递增，很明显必须使其对称轴即x=a/2在定义域的右边，也即必须a/2>=1
所以a的取值范围为a大于等于2

追问

嗯。。我是这样写的，求改错
F'(x)=(-x^2+(a-2)x+a)e^x
因为e^x恒大于0，所以要使f'(x)大于0，则要(-x^2+(a-2)x+a)大于0
所以需要满足f'(1)大于0,f'(-1)大于0,判别式大于0
然后得出的结论是a大于3/2

追答

F'(x)=[(-x^2+ax)e^x]'=(-2x+a)·e^x，你求导求错了...

追问

不对啊，不是有f'(x)=h'(x)j(x)+h(x)j'(x)吗。。？你那个是f'(x)=h'(x)j'(x)啊。

追答

噢不好意思～一时忘记
首先你这种解法要分三种情况讨论，即(a-2)/2大于1，小于-1，和大于-1小于1的三种情况
分别讨论再结合每种情况的结论～

追问

不太懂。。能帮我详细解答一下我这种解法吗？QAQ感激不尽

追答

首先我那个答案是错的～我以为单调递增函数乘单调递减函数就会是单调递减～这个想法是错的～刚才百度了一下看到“单调递增的加单调递减的”函数的单调性无法确定，“递增的乘递减的”函数的单调性一样无法确定”
其实你的做法就是对的啦～～～ 哈哈 不好意思嘿
你这种解法不用我说的那么复杂 只要f'(1)和f'(-1)都大于0就OK的了 判别式不用的

Answer 2

f(1)-f(-1)＞0
a＞(1-e2)/(1+e2)

Answer 3

求导在分析好像a>1吧