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wsktuuytyh 中国剩余定理
wsktuuytyh 同余式
wsktuuytyh 不定方程
找到我答此类问题的一些相关内容。
wsktuuytyh是我(杨念华)的现用名何冬州的五笔字型编码。
我对同余式组的解法有些心得，对中国剩余定理有所改进，提出了快速计算方法，对同余式与不定方程在形式与实质上建立了一一对应的统一关系，有助于认识同余概念的本质。
下面摘自我最近答的几道题，供参考：
如果你会解一次同余式，可直接看题三。不过我建议你先看前面的，可能对同余概念的本质有所启发。
题一：
同余方程31x≡5(mod 17)的解是__________.
答：首先写成31=5+17**,这是我引入的一种特殊的不定方程新形式。
注：其中**表示是任意倍数而不考虑具体是多少倍，这种新的不定方程方式，可以认为**是一个任意整数并且可变，于是在等式两侧移项而形式不必变更。在此考虑之下，+17**就相当于一个相对独立的项，与同余式中的 mod 17完全等效了。
这种形式统一了不定方程与同余式，并且具有二者的便利性。下面我们继续解题。
归并（移动）17的倍数到右侧，有
-3x=5+17**=-12+17**, 故x=4+17**。改写成同余的形式，即是 x==4 mod 17
题二.不定方程9x+12y=39的通解是__________.
答：先约去3得 3x+4y=13
同上例，归并3的倍数到左侧即：3**+y=1, 故y=1+3**，可取y=1+3t, 代入立即得x=3-4t.
另法：
也可归并4的倍数，如：-x+4**=1, 可取x=-1+4k, 代入立即得y=4-3k
这两种解答是等效的。
之所以举这两例，是为了向您介绍这种解不定方程与同余式的新方法。
其中的**，也可以方便的写作*，或者其他。您可以仔细体会一下。我下面写出它的使用法则：
（1）
** <==> -**==-1×(**)
注11：我称之为反值平移。如果平移时不必考虑其具体数值，认为可变而等效，从而等效使用。
注12：在需要计算其值时，一旦发生移项，可以写成-**，也可以引用新的变量如-x，或y来代替。此时y=-x.
（2）
** <== 常数或未知数+**
注22：我称之为增量平移。包括增大与减小(负增长)。在不必计算其具体数值时，可以将它做常数项增量平移，认为可变而等效使用。
注22：在需要计算其值时，可以引入立即引入新的未知量来表示。并不必怕变量多。将相邻两式比较，立即可以方便的找到引入的新变量与旧变量之间的关系。利用这种思路求解不定方程，叙述与计算过程均十分便利。并且特别方便在草稿纸上结合心算进行计算。
题三：
一个数被5除余2,被6除少2,被7除少3,问这个数最小是多少？
注意：这里将题意理解为求最小正整数或自然数解。
解：
首先转化成：自然数x被5除余2,被6除余4,被7除余4,问这个数最小是多少
一：线性分解，必需的：
然后，假设将这个数分成三部分：x=x1+x2+x3
其中,
x1被5除余2,被6除余0,被7除余0,
x2被5除余0,被6除余4,被7除余0,
x3被5除余0,被6除余0,被7除余4,
这种剖析法，在数学上称为线性叠加。数论上的中国剩余定理，计算数学中的插值方法，基本上都是利用这一原理。多元一次方程组，也可以用这种思路来解，因此也称为线性方程组。此方法形成一门数学分支，称为线性代数，用向量与矩阵，可以大大简化问题的描述与思考过程。
在本答案的第四部分中，我用此思路计算出此题的答案。
二：单位的引进，并不是必要的
中国剩余定理呢，为了理论的简明与方便，是将问题分成了三个单位
先找到r1被5除余1,被6除余0, 被7除余0, 那么2*r1自然就是前面所讲的x1了。
同样，r2被5除余0,被6除余1,被7除余0, 那么4*r2自然就是前面所讲的x2了。
同样，r3被5除余0,被6除余0,被7除余1, 那么4*r3自然就是前面所讲的x3了。
这里的三个单位数组(1,0,0)，（0，1，0）， (0,0,1)便是单位向量。组成矩阵就是单位矩阵。
用单位数组来解决问题，具有统一性，但并不是必要的。用前面的思路来解，常常还会简化计算过程。所以我们理解了之后，对中国剩余定理不必太过拘泥。
另外，我们发现，中国剩余定理，也就是线性叠加的一个特例。当我们推而广之之后，发现，也并不神秘。
三：细节计算举例
注意：同余的理解，模的理解。如果理解了他的本质，我看，同余号与模概念的形式引进，并不是必需的。
子问题：
求r1,使得r1被5除余1,被6除余0, 被7除余0。
答：
显然，r1被6,7整除，从而被6,7的最小公倍数整除。
而6,7不可约，即互质(或称互素)，或说6,7的最大公约数为1,
于是他们的最小公倍数就是它们的乘积6*7.
于是可设
r1=6*7k1=1 (±5**)或1(+)5*() 。
会解这样的不定方程或后文讲到的同余式，那么你就可以解答同余式组问题，也就是出题人所提的一类问题了。后文注3专讲如何解答。
注1：
这时现有的较好的得化处理是引进同余记号。
r1=6*7k1==1 mod 5
不过，这并不是必需的。因为我们写成r1=6*7k1=1 (±5**)或1(+)5*() 也行。
这里与用同余记号是完全等效的，称为不定方程表示。
如果我们在观念上将5**或5()当作为5的一个倍数，而不必知道是多少倍，当然也有一种意思是说，不必知道是正数倍还是负数倍；同时我们还要知道，这个项在等式两边移动与变号，并不影响等号两边的两个表达式的地位，认为两上表达式是处于对等的地位，而(±5**)可以在等式两边随意移动，对于两个表达式而言，他甚至成了第三方，有一些独立意味了。这样就与同余概念完全一致了。在同余概念下特称这个第三方为“模”，其实，它原本不过是一个乘法加法混合式（带余除法）中的一个因数（除数），只是我们不再强调他所连接的另一个因子，让他具有某种独立性了。
注2：
这里的k1称为乘率，或同余倒数，同余逆，模逆等等。见名知义，很容易理解。
注3：
利用不定方程来解，下面是我发现的一种综合了同余概念的本质，简化了不定方程的形式而得到的简化解法。
求解6*7k=1+5**
解：两边扣除5的倍数，归结到一起：
2k=1+5** 注意，我们不管5**是5的多少倍，只管将它们合并到一起，不必写成2k=1+5*(*-8k).
易见k可取值3.
对于难于计算的不定方程，用这样的思路同样容易解答。如果不便计算，将各次出现的**用具体的符号描述出来，将相邻的式子进行比较，比较所得的式子通常计算起来很方便。
由这些比较比，由后向前递推，比直接用原式来计算，方便得多。
而这种比较计算思路与不管中间过程中具体是多少倍的思路，及对同余式与不定方程之关系的特别的理解，是我个人的心得，一般数论书上没有讲述。愿朋友们理解之，并予阐发。
四：终结解答：
自然数x被5除余2,被6除余4,被7除余4,问这个数最小是多少
一：线性分解，必需的：
然后，假设将这个数分成三部分：x=x1+x2+x3
其中,
x1被5除余2,被6除余0,被7除余0,
x2被5除余0,被6除余4,被7除余0,
x3被5除余0,被6除余0,被7除余4,
二：转化
下面依此思路，另设
x=6*7a+5*7b+5*6c
代入原题或依上述x1,x2,x3之说明，得知：
6*7a=2 + 5**
5*7b=4+ 6**
5*6c=4+7**
易见可取a=1+5**， 特别地，取a=1
又 -b=4+6** (注：35b-6**得到-b), 故可取b=2 + 6**
又2c=4 + 7**, 故可取c= 2+ 7**
三：简化计算
易见x=5*6*7*(a/5+b/6+c/7),
=(a/5+b/6+c/7)以5*6*7为分母时的分子
剩下的，就是在分数
1/5+2/6+2/7如何计算他的分子上面做工夫了。
注意，这个分数为正的真分数，就对应于最小正整数解；为带分数，就对应于其他解。
因此，我们在中间计算时，对整体或每个小部分分数的值上加减一个整数，不影响我们最终的结果。并且，计算顺序，依加法交换律与分组结合律，如何方便如何计算。
结果是：172/210
验算：
自然数172是被5除余2,被6除余4,被7除余4的自然数中的最小值。
五：
写成同余式(以下用==表示同余号)
即是
x==
2 mod 5
-2 mod 6
-3 mod 7
对中国剩余定理一个简单的改进可以是这样：
令
x=5*6*7*(a/5+b/6+c/7) mod 5*6*7
即x=6*7*a+5*7*b+5*6* c+ 5*6*7 t
代入原题即得
6*7*a==2 mod 5
5*7*b==-2 mod 6
5*6*c==-3 mod 7
求得
a==1 mod 3, 或者说是形如-1+3u的任意整数。
b=2 mod 5, ...
c=2 mod 7
剩下的就是如果计算出x来了。下面也给了简化方法。
从下面这个式子上看
x=5*6*7*(a/5+b/6+c/7) mod 5*6*7
我们看到，我们需要的x的值，只要取以5*6*7作分母时的分数(a/5+b/6+c/7) 的分子就行了，
如果我们将 a/5+b/6+c/7表示成带分数，即整数加真分数的形式。
还可以发现，如果要取最小正整数解，就取这个真分数的分子就形子。。
在计算过程中，
任意加减一个整数，造成数的增大和变小，并不影响我们的结果。
同时，任意交换加项，也不影响。
下面我们来计算：
1/5+2/6+2/7=16/30+2/7=172/210
结果就是172
由此思路我得到一些更好的形式和简化过程，略。
注：
a == r mod m 就是说a 与 r 除以m 的余数相同， 其中包括这样的特例情况：
r就是a 除以 m所得余数。
wsktuuytyh 中国剩余定理
wsktuuytyh 同余式
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找到我答此类问题的一些相关内容。
wsktuuytyh是我(杨念华)的现用名何冬州的五笔字型编码。
我对同余式组的解法有些心得，对中国剩余定理有所改进，提出了快速计算方法，对同余式与不定方程在形式与实质上建立了一一对应的统一关系，有助于认识同余概念的本质。
下面摘自我最近答的几道题，供参考：
如果你会解一次同余式，可直接看题三。不过我建议你先看前面的，可能对同余概念的本质有所启发。
题一：
同余方程31x≡5(mod 17)的解是__________.
答：首先写成31=5+17**,这是我引入的一种特殊的不定方程新形式。
注：其中**表示是任意倍数而不考虑具体是多少倍，这种新的不定方程方式，可以认为**是一个任意整数并且可变，于是在等式两侧移项而形式不必变更。在此考虑之下，+17**就相当于一个相对独立的项，与同余式中的 mod 17完全等效了。
这种形式统一了不定方程与同余式，并且具有二者的便利性。下面我们继续解题。
归并（移动）17的倍数到右侧，有
-3x=5+17**=-12+17**, 故x=4+17**。改写成同余的形式，即是 x==4 mod 17
题二.不定方程9x+12y=39的通解是__________.
答：先约去3得 3x+4y=13
同上例，归并3的倍数到左侧即：3**+y=1, 故y=1+3**，可取y=1+3t, 代入立即得x=3-4t.
另法：
也可归并4的倍数，如：-x+4**=1, 可取x=-1+4k, 代入立即得y=4-3k
这两种解答是等效的。
之所以举这两例，是为了向您介绍这种解不定方程与同余式的新方法。
其中的**，也可以方便的写作*，或者其他。您可以仔细体会一下。我下面写出它的使用法则：
（1）
** <==> -**==-1×(**)
注11：我称之为反值平移。如果平移时不必考虑其具体数值，认为可变而等效，从而等效使用。
注12：在需要计算其值时，一旦发生移项，可以写成-**，也可以引用新的变量如-x，或y来代替。此时y=-x.
（2）
** <== 常数或未知数+**
注22：我称之为增量平移。包括增大与减小(负增长)。在不必计算其具体数值时，可以将它做常数项增量平移，认为可变而等效使用。
注22：在需要计算其值时，可以引入立即引入新的未知量来表示。并不必怕变量多。将相邻两式比较，立即可以方便的找到引入的新变量与旧变量之间的关系。利用这种思路求解不定方程，叙述与计算过程均十分便利。并且特别方便在草稿纸上结合心算进行计算。
题三：
一个数被5除余2,被6除少2,被7除少3,问这个数最小是多少？
注意：这里将题意理解为求最小正整数或自然数解。
解：
首先转化成：自然数x被5除余2,被6除余4,被7除余4,问这个数最小是多少
一：线性分解，必需的：
然后，假设将这个数分成三部分：x=x1+x2+x3
其中,
x1被5除余2,被6除余0,被7除余0,
x2被5除余0,被6除余4,被7除余0,
x3被5除余0,被6除余0,被7除余4,
这种剖析法，在数学上称为线性叠加。数论上的中国剩余定理，计算数学中的插值方法，基本上都是利用这一原理。多元一次方程组，也可以用这种思路来解，因此也称为线性方程组。此方法形成一门数学分支，称为线性代数，用向量与矩阵，可以大大简化问题的描述与思考过程。
在本答案的第四部分中，我用此思路计算出此题的答案。
二：单位的引进，并不是必要的
中国剩余定理呢，为了理论的简明与方便，是将问题分成了三个单位
先找到r1被5除余1,被6除余0, 被7除余0, 那么2*r1自然就是前面所讲的x1了。
同样，r2被5除余0,被6除余1,被7除余0, 那么4*r2自然就是前面所讲的x2了。
同样，r3被5除余0,被6除余0,被7除余1, 那么4*r3自然就是前面所讲的x3了。
这里的三个单位数组(1,0,0)，（0，1，0）， (0,0,1)便是单位向量。组成矩阵就是单位矩阵。
用单位数组来解决问题，具有统一性，但并不是必要的。用前面的思路来解，常常还会简化计算过程。所以我们理解了之后，对中国剩余定理不必太过拘泥。
另外，我们发现，中国剩余定理，也就是线性叠加的一个特例。当我们推而广之之后，发现，也并不神秘。
三：细节计算举例
注意：同余的理解，模的理解。如果理解了他的本质，我看，同余号与模概念的形式引进，并不是必需的。
子问题：
求r1,使得r1被5除余1,被6除余0, 被7除余0。
答：
显然，r1被6,7整除，从而被6,7的最小公倍数整除。
而6,7不可约，即互质(或称互素)，或说6,7的最大公约数为1,
于是他们的最小公倍数就是它们的乘积6*7.
于是可设
r1=6*7k1=1 (±5**)或1(+)5*() 。
会解这样的不定方程或后文讲到的同余式，那么你就可以解答同余式组问题，也就是出题人所提的一类问题了。后文注3专讲如何解答。
注1：
这时现有的较好的得化处理是引进同余记号。
r1=6*7k1==1 mod 5
不过，这并不是必需的。因为我们写成r1=6*7k1=1 (±5**)或1(+)5*() 也行。
这里与用同余记号是完全等效的，称为不定方程表示。
如果我们在观念上将5**或5()当作为5的一个倍数，而不必知道是多少倍，当然也有一种意思是说，不必知道是正数倍还是负数倍；同时我们还要知道，这个项在等式两边移动与变号，并不影响等号两边的两个表达式的地位，认为两上表达式是处于对等的地位，而(±5**)可以在等式两边随意移动，对于两个表达式而言，他甚至成了第三方，有一些独立意味了。这样就与同余概念完全一致了。在同余概念下特称这个第三方为“模”，其实，它原本不过是一个乘法加法混合式（带余除法）中的一个因数（除数），只是我们不再强调他所连接的另一个因子，让他具有某种独立性了。
注2：
这里的k1称为乘率，或同余倒数，同余逆，模逆等等。见名知义，很容易理解。
注3：
利用不定方程来解，下面是我发现的一种综合了同余概念的本质，简化了不定方程的形式而得到的简化解法。
求解6*7k=1+5**
解：两边扣除5的倍数，归结到一起：
2k=1+5** 注意，我们不管5**是5的多少倍，只管将它们合并到一起，不必写成2k=1+5*(*-8k).
易见k可取值3.
对于难于计算的不定方程，用这样的思路同样容易解答。如果不便计算，将各次出现的**用具体的符号描述出来，将相邻的式子进行比较，比较所得的式子通常计算起来很方便。
由这些比较比，由后向前递推，比直接用原式来计算，方便得多。
而这种比较计算思路与不管中间过程中具体是多少倍的思路，及对同余式与不定方程之关系的特别的理解，是我个人的心得，一般数论书上没有讲述。愿朋友们理解之，并予阐发。
四：终结解答：
自然数x被5除余2,被6除余4,被7除余4,问这个数最小是多少
一：线性分解，必需的：
然后，假设将这个数分成三部分：x=x1+x2+x3
其中,
x1被5除余2,被6除余0,被7除余0,
x2被5除余0,被6除余4,被7除余0,
x3被5除余0,被6除余0,被7除余4,
二：转化
下面依此思路，另设
x=6*7a+5*7b+5*6c
代入原题或依上述x1,x2,x3之说明，得知：
6*7a=2 + 5**
5*7b=4+ 6**
5*6c=4+7**
易见可取a=1+5**， 特别地，取a=1
又 -b=4+6** (注：35b-6**得到-b), 故可取b=2 + 6**
又2c=4 + 7**, 故可取c= 2+ 7**
三：简化计算
易见x=5*6*7*(a/5+b/6+c/7),
=(a/5+b/6+c/7)以5*6*7为分母时的分子
剩下的，就是在分数
1/5+2/6+2/7如何计算他的分子上面做工夫了。
注意，这个分数为正的真分数，就对应于最小正整数解；为带分数，就对应于其他解。
因此，我们在中间计算时，对整体或每个小部分分数的值上加减一个整数，不影响我们最终的结果。并且，计算顺序，依加法交换律与分组结合律，如何方便如何计算。
结果是：172/210
验算：
自然数172是被5除余2,被6除余4,被7除余4的自然数中的最小值。
五：
写成同余式(以下用==表示同余号)
即是
x==
2 mod 5
-2 mod 6
-3 mod 7
对中国剩余定理一个简单的改进可以是这样：
令
x=5*6*7*(a/5+b/6+c/7) mod 5*6*7
即x=6*7*a+5*7*b+5*6* c+ 5*6*7 t
代入原题即得
6*7*a==2 mod 5
5*7*b==-2 mod 6
5*6*c==-3 mod 7
求得
a==1 mod 3, 或者说是形如-1+3u的任意整数。
b=2 mod 5, ...
c=2 mod 7
剩下的就是如果计算出x来了。下面也给了简化方法。
从下面这个式子上看
x=5*6*7*(a/5+b/6+c/7) mod 5*6*7
我们看到，我们需要的x的值，只要取以5*6*7作分母时的分数(a/5+b/6+c/7) 的分子就行了，
如果我们将 a/5+b/6+c/7表示成带分数，即整数加真分数的形式。
还可以发现，如果要取最小正整数解，就取这个真分数的分子就形子。。
在计算过程中，
任意加减一个整数，造成数的增大和变小，并不影响我们的结果。
同时，任意交换加项，也不影响。
下面我们来计算：
1/5+2/6+2/7=16/30+2/7=172/210
结果就是172
由此思路我得到一些更好的形式和简化过程，略。
注：
a == r mod m 就是说a 与 r 除以m 的余数相同， 其中包括这样的特例情况：
r就是a 除以 m所得余数。
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