Question

1-cosx等于啥等价无穷小?

Answer 1

用二倍角公式：

cos2a=1-2sin²a

1-cos2a=2sin²a

所以：1-cosx=2sin²(x/2)~2×(x/2)²~x²/2。

所以：1-cosx的等价无穷小为x²/2。

极限的由来

与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的大脑抽象思维的产物。极限的思想可以追溯到古代，例如，祖国刘徽的割圆术就是建立在直观图形研究的基础上的一种原始的可靠的“不断靠近”的极限思想的应用。

古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对’无限‘的恐惧”，他们避免明显地人为“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。

到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中，改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明，如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。

Answer 2

1-cos x~x²/2

Answer 3

当 x 趋近于 0 时，1-cosx 的等价无穷小可以表示为 x²/2。这可以通过泰勒级数展开来推导。根据泰勒级数展开，cosx 的展开式为：

cosx = 1 - x²/2! + x⁴/4! - x⁶/6! + ...

因此，1-cosx 可以表示为：

1 - cosx = x²/2! - x⁴/4! + x⁶/6! - ...

当 x 趋近于 0 时，高阶项的幂次越高，其对整体的贡献越小，因此我们可以忽略高阶项，得到：

1 - cosx ≈ x²/2

所以，当 x 趋近于 0 时，1-cosx 的等价无穷小为 x²/2。