Question

设函数f(x)=ax^3+bx+c(a不等于0）为奇函数，其图像在点（1，f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直，

导函数f'(x)的最小值为-12，求函数f(x)的解析式。

Answer 1

f(x)为R上的奇函数，从而　f(0)=c=0
求导，f'(x)=3ax²+b，
因为直线x-6y-7=0的斜率为1/6，
又点（1，f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直
从而，f'(1)=3a+b=-6
又导函数f'(x)=3ax²+b有最小值为-12，从而　a>0且b=-12
所以　3a-12=-6，a=2
f(x)=2x³-12x

Answer 2

f(x)=ax^3+bx+c is odd function
f(x) =-f(-x)
=> c=0

slope of line : x-6y-7=0 = 1/6

f(x)=ax^3+bx
f'(x) =3ax^2+b
f'(1)= 3a+b = -6 (1)
f''(x) =6ax =0
x=0
f''(0)= b=-12 (2)
from (1) (2)
a=2

f(x)=2x^3-12

Answer 3

由于函数为奇函数，则：C=0
f(x)在（1，f(1)）的切线与直线垂直，则此时切线的斜率为：k=-6
又：f'(x)=3ax^2+b
则：3a+b=-6
导函数在x=0时能取到最小值，则：b=-12
所以：a=2
所以：函数的表达式为：f(x)=2x^3-12x