Question

高等数学——多元函数微分法

Answer 1

任意一点 与任意一个点集 之间必有以下三种关系中的一种：
(1) 内点：如果存在点 的某个领域 ，使得 ，则称 为 的内点。
(2) 外点：如果存在点 的某个领域 ，使得 ，则称 为 的外点。
(3) 边界点： 如果点 的任一领域内既包含有属于 的点，又含有不属于 的点，则称 为 的边界点。

的边界点的全体，称为 的边界，记作 。
的内点必属于 ， 的外点必不属于 ， 的边界点可能属于 ，也可能不属于 。

聚点：如果对于任意给定的 ，点 的去心领域 内总有 中的点，则称 是 的聚点。

开集：如果点集 的点都是 的内点，则称 为开集。
闭集：如果点集 的边界 ，则称 为闭集。
连通集：如果点集 内任何两点，都可以用折线连接起来，且该折线上的点都属于 ，则称 为连通集。

区域（或开区域）：连通的开集称为区域。
闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域。

有界集：对于平面点集 ，如果存在某一正数 ，使得 ，其中 为坐标原点，则称 为有界集。
无界集：一个集合如果不是有界集，就称这集合为无界集。

设二元函数 的定义域为 是 的聚点，如果存在常数 ，对于任意给定的正数 ，总存在正数 ，使得当点 时，都有 成立，那么就称常数 为函数 当 时的极限，记作

设二元函数 的定义域为 是 的聚点，且 ，如果 则称函数 在点 连续。

设函数 在 上有定义， 内的每一点都是函数定义域的聚点。如果函数 在 的每一点都连续，那么就称函数 在 上连续，或者 函数 是 上的连续函数。

设函数 的定义域为 是 的聚点，如果函数 在点 不连续，则称 为函数 的间断点。

一切多元初等函数（多元初等函数是指可用一个式子表示的多元函数）在其定义区域内是连续的，所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。

设函数 在点 的某一领域内有定义，当 固定在 而 在 处有增量 时，相应的函数有增量 ，如果 存在，则称此极限为函数 在点 处对 的偏导数，记作

类似的，函数 在点 处对 的偏导数定义为
记作

一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续，但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续，因为各偏导数存在只能保证点 沿着平行于坐标轴方向趋于 时，函数值 趋于 ，但不能保证点 按任何方式趋于 时，函数 值 都趋于 。

设函数 在区域 内具有偏导数
那么在 内 都是 的函数，如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数 的二阶偏导数：

定理     如果函数 的两个二阶混合偏导数 在区域 内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。也就是说，二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。

设函数 在点 的某一领域内有定义，如果函数在点 的全增量

可表示为

其中 不依赖于 而仅与 有关， ，则称函数 在点 可微分，而 称为函数 在点 的全微分，记作 ，即

如果函数在区域 内各点处都可微分，那么称这函数在 内可微分。

多元函数在某点的偏导数存在，并不能保证函数在该点连续；但是，如果函数 在点 可微分，那么这函数在该点必连续。

定理 1     如果函数 在点 可微分，则该函数在点 的偏导数 必定存在，且函数 在点 的全微分为

定理 2     如果函数 的偏导数 在点 连续，则函数在该点可微分。

设函数 具有连续偏导数，则有全微分
如果 又是中间变量，即 、 ，且则两个函数也具有连续偏导数，则复合函数 的全微分为
由4.2中的公式可得

定理 1     如果函数 及 都在点 可导，函数 在对应点 具有连续偏导数，则复合函数 在点 可导，且有

这里的 称为全导数。

定理 2     如果函数 及 都在点 具有对 及对 的偏导数，函数 在对应点 具有连续偏导数，则复合函数 在点 的两个偏导数都存在，且有

定理 3     如果函数 在点 具有对 及对 的偏导数，函数 在点 处可导，函数 在对应点 具有连续偏导数，则复合函数 在点 的两个偏导数都存在，且有

无论 对谁求导，也不论求了几阶导，求导之后的新函数仍具有与原来函数完全相同的复合结构。

隐函数存在定理 1     设函数 在点 的某一领域内具有连续偏导数，且 ，则方程 在点 的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 ，它满足条件 ，并有
此公式将 带入方程 然后对等式两边求导即可得出。

隐函数存在定理 2     设函数 在点 的某一领域内具有连续偏导数，且 ，则方程 在点 的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 ，它满足条件 ，并有
同理，将 带入方程 然后对等式两边求导即可得出。

隐函数存在定理 3     设函数 在点 的某一领域内具有对各个变量的连续偏导数，又 且偏导数所组成的函数行列式
在点 不等于零，则方程组 在点 的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 ，它们满足条件 ，并有




对方程组 两边进行求导，然后解方程组即可得出。

设空间曲线 的参数方程为

假定三个函数都在 上可导，且三个导数不同时为零。
设与点 对应的参数为 ，记 ，则向量 就是曲线 在点 处的一个切向量， 所以曲线 在点 处的切线方程为

通过点 且与切线垂直的平面称为曲线 在点 处的法平面，它是通过点 且以 为法向量的平面，因此，法平面的方程为

设曲面 由方程 给出， 是曲面 上的一点，并设函数 的偏导数在该点连续且不同时为零。在曲面 上通过点 的一切曲线在点 的切线所构成的平面称为曲面 在点 的切平面，其方程为

通过点 且垂直于切平面 的直线称为曲面在该点的法线，其方程为

垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量，向量

就是曲面 在点 处的一个法向量。