高中不等式知识点总结
高中不等式知识点总结
在平日的学习中，是不是听到知识点，就立刻清醒了？知识点是指某个模块知识的重点、核心内容、关键部分。为了帮助大家更高效的学习，下面是我收集整理的高中不等式知识点总结，希望能够帮助到大家。
一、 知识点
1.不等式性质
比较大小方法：
(1)作差比较法
(2)作商比较法
不等式的基本性质
①对称性：a > bb > a
②传递性: a > b, b > ca > c
③可加性: a > b a + c > b + c
④可积性: a > b, c > 0ac > bc;
a > b, c < 0ac < bc;
⑤加法法则: a > b, c > d a + c > b + d
⑥乘法法则：a > b > 0, c > d > 0 ac > bd
⑦乘方法则：a > b > 0, an > bn (n∈N)
⑧开方法则：a > b > 0,
2.算术平均数与几何平均数定理：
(1)如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab(当且仅当a=b时等号)
(2)如果a、b∈R+,那么(当且仅当a=b时等号)推广：如果为实数，则
重要结论
1)如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2;
(2)如果和x+y是定值S，那么当x=y时，和xy有最大值S2/4。
3.证明不等式的常用方法：
比较法：比较法是最基本、最重要的方法。当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法;碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。
综合法：从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式。综合法的放缩经常用到均值不等式。
分析法：不等式两边的联系不够清楚，通过寻找不等式成立的充分条件，逐步将欲证的不等式转化，直到寻找到易证或已知成立的结论。
4.不等式的解法
(1) 不等式的有关概念
同解不等式：两个不等式如果解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式。
同解变形：一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做同解变形。
提问：请说出我们以前解不等式中常用到的同解变形
去分母、去括号、移项、合并同类项
(2) 不等式ax > b的解法
①当a>0时不等式的解集是{x|x>b/a};
②当a<0时不等式的解集是{x|x
③当a=0时,b<0,其解集是R;b0, 其解集是ф。
(3) 一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系
(4)绝对值不等式
|x|0)的解集是{x|-a
o o
-a 0 a
|x|>a(a>0)的解集是{x|x<-a或x>a｝，几何表示为：
o o
-a 0 a
小结：解绝对值不等式的关键是-去绝对值符号(整体思想，分类讨论)转化为不含绝对值的不等式，通常有下列三种解题思路：
(1)定义法：利用绝对值的意义，通过分类讨论的方法去掉绝对值符号;
(2)公式法：| f(x) | > a f(x) > a或f(x) < -a;| f(x) | < a -a
(3)平方法：| f(x) | > a(a>0) f2(x) > a2;| f(x) | < a(a>0) f2(x) < a2;(4)几何意义。
(5)分式不等式的解法
(6)一元高次不等式的解法
数轴标根法
把不等式化为f(x)>0(或<0)的形式(首项系数化为正)，然后分解因式，再把根按照从小到大的顺序在数轴上标出来，从右边入手画线，最后根据曲线写出不等式的解。
(7)含有绝对值的不等式
定理：|a| - |b|≤|a+b|≤|a| + |b|
|a| - |b|≤|a+b|
中当b=0或|a|>|b|且ab<0等号成立
|a+b|≤|a| + |b|
中当且仅当ab≥0等号成立
推论1：|a1 + a2 + a3| ≤|a1 | +| a2 | + | a3|
推广：|a1 + a2 +...+ an| ≤|a1 | +| a2 | +...+ | an|
推论2：|a| - |b|≤|a-b|≤|a| + |b|
二、常见题型专题总结：
专题一：利用不等式性质，判断其它不等式是否成立
1、a、b∈R,则下列命题中的真命题是( C )
A、若a>b，则|a|>|b| B、若a>b，则1/a<1/b
C、若a>b，则a3>b3 D、若a>b，则a/b>1
2、已知a<0.-1
A、a>ab>ab2 B、ab2>ab>a
C、ab>a>ab2 D、ab>ab2>a
3、当0
A、(1a)1/b >(1a)b B、(1+a)a>(1+b)b
C、(1a)b >(1a)b/2 D、(1a)a>(1b)b
4、若loga3>logb3>0，则a、b的关系是( B )
A、0a>1
C、0
5、若a>b>0，则下列不等式①1/a<1 a2="">b2;③lg(a2+1)>lg(b2+1);④2a>2b中成立的是( A )
A、①②③④ B、①②③ C、①② D、③④
(二)比较大小
1、若0<α<β<π/4,sinα+cosα=a,sinβ+cosβ=b，则( A )
A、ab C、ab<1 ab="">2
2、a、b为不等的正数，n∈N，则(anb+abn)-(an-1+bn-1)的符号是( C )
A、恒正 B、恒负
C、与a、b的大小有关 D、与n是奇数或偶数有关
3、设1lg2x>lg(lgx)
4、设a>0,a≠1,比较logat/2与loga(t+1)/2的大小。
分析：要比较大小的式子较多，为避免盲目性，可先取特殊值估测各式大小关系，然后用比较法(作差)即可。
(三)利用不等式性质判断P是Q的充分条件和必要条件
1、设x、y∈R,判断下列各题中，命题甲与命题乙的充分必要关系
⑴命题甲：x>0且y>0， 命题乙：x+y>0且xy>0 充要条件
⑵命题甲：x>2且y>2， 命题乙：x+y>4且xy>4 充分不必要条件
2、已知四个命题，其中a、b∈R
①a2
3、"a+b>2c"的一个充分条件是( C )
A、a>c或b>c B、a>c或bc且b>c D、a>c且b
(四)范围问题
1、设60
2、若二次函数y=f(x)的图象过原点，且1≤f(1)≤2,3≤f(1)≤3，求f(2)的范围。
(五)均值不等式变形问题
1、当a、b∈R时,下列不等式不正确的是( D )
A、a2+b2≥2|a|?|b| B、(a/2+b/2)2≥ab
C、(a/2+b/2)2≤a2/2+b2/2 D、log1/2(a2+b2)≥log1/2(2|a|?|b|)
2、x、y∈(0,+∞)，则下列不等式中等号不成立的是( A )
C、(x+y)(1/x+1/y)≥4 D、(lgx/2+lgy/2)2≤lg2x/2+lg2y/2
3、已知a>0,b>0,a+b=1，则(1/a21)(1/b21)的最小值为( D )
A、6 B、7 C、8 D、9
4、已知a>0,b>0,c>0，a+b+c=1，求证：1/a+1/b+1/c≥9
5、已知a>0,b>0,c>0,d>0,求证：
(六)求函数最值
1、若x>4,函数
5、大、-6
2、设x、y∈R, x+y=5，则3x+3y的最小值是( )D
A、10 B、 C、 D、
3、下列各式中最小值等于2的是( )D
A、x/y+y/x B、 C、tanα+cotα D、2x+2-x
4、已知实数a、b、c、d满足a+b=7,c+d=5,求(a+c)2+(b+d)2的最小值。
5、已知x>0,y>0,2x+y=1,求1/x+1/y的最小值。
(七)实际问题
1、98(高考)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2cm的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为am，高度为bm，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比，现有制箱材料60m2，问当a、b各为多少米时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)。
解一：设流出的水中杂质的质量分数为y，
由题意y=k/ab，其中k为比例系数(k>0)
据题设2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0)
由a>0,b>0可得0
令t=2+a，则a=t-2从而当且仅当t=64/t，即t=8,a=6时等号成立。∴y=k/ab≥k/18
当a=6时,b=3，
综上所述，当a=6m,b=3m时，经沉淀后流出的.水中该杂质的质量分数最小。
解二：设流出的水中杂质的质量分数为y，由题意y=k/ab，其中k为比例系数(k>0)
要求y的最小值，即要求ab的最大值。
据题设2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0)，即a+2b+ab=30
即a=6,b=3时，ab有最大值，从而y取最小值。
综上所述，当a=6m,b=3m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。
2、某工厂有旧墙一面长14米,现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126 米2的厂房，工程条件是：①建1米新墙的费用为a元;②修1米旧墙的费用为a/4元;③拆去1米旧墙用所得材料建1米新墙的费用为a/2元.经过讨论有两种方案：⑴利用旧墙的一段x(x<14)米为矩形厂房的一面边长;⑵矩形厂房的一面长为x(x≥14).问如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省?⑴⑵两种方案哪种方案最好?
解：设总费用为y元，利用旧墙的一面矩形边长为x米，则另一边长为126/x米。
⑴若利用旧墙的一段x米(x<14)为矩形的一面边长，则修旧墙的费用为x?a/4元，剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14-x)?a/2元，其余的建新墙的费用为(2x+ 2?126/x-14)?a元，故总费用 当且仅当x=12时等号成立，∴x=12时ymin=7a(6-1)=35a。
⑵若利用旧墙的一段x米(x≥14)为矩形的一面边长，则修旧墙的费用为x?a/4元，建新墙的费用为(2x+ 2?126/x-14)?a元，故总费用
设f(x)=x+126/x, x2>x1≥14，则f(x2)-f(x1)= x2+126/x2-(x1+126/x1)
=(x2x1)(1126/x1x2)>0∴f(x)=x+126/x在[14，+∞)上递增，∴f(x)≥f(14)
∴x=14时ymin=7a/2+2a(14+126/14-7)=35.5a
综上所述，采用方案⑴，即利用旧墙12米为矩形的一面边长，建墙费用最省。
(八)比较法证明不等式
1、已知a、b、m、n∈R+,证明：am+n+bm+n≥ambn+anbm
变：已知a、b∈R+,证明：a3/b+b3/a≥a2+b2
2、已知a、b∈R+,f(x)=2x2+1,a+b=1,证明：对任意实数p、q恒有a?f(p)+b?f(q)≥f(ap+bq)
(九)综合法证明不等式
1、已知a、b、c为不全相等的正数，求证：
2、已知a、b、c∈R，且a+b+c=1，求证：a2+b2+c2≥1/3
3、已知a、b、c为不全相等的正数，且abc=1,求证：
4、已知a、b∈R+，a+b=1,求证：
(十)分析法证明不等式
1、已知a、b、c为不全相等的正数，求证：bc/a+ac/b+ab/c>a+b+c
2、已知函数f(x)=lg(1/x-1),x1、x2∈(0,1/2)，且x1≠x2，求证：
3、设实数x,y满足y+x2=0,0
(十一)反证法、放缩法、构造法、判别式法、换元法等证明不等式
1、设f(x)=x2+ax+b，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于1/2。
2、若x2+y2≤1,求证|x2+2xy-y2|≤.
3、已知a>b>c,求证：
4、已知a、b、c∈R+，且a+b>c求证：.
5、已知a、b、c∈R，证明：a2+ac+c2+3b(a+b+c)≥0，并指出等号何时成立。
分析：整理成关于a的二次函数f(a)=a2+(c+3b)a+3b2+3bc+c2
∵Δ=(c+3b)2-4(3b2+3bc+c2)=-3(b2+2bc+c2)≤0
∴f(a)≥0
6、已知：x2-2xy + y2 + x + y + 1=0，求证：1/3≤y/x≤3
7、在直角三角形ABC中，角C为直角，n≥2且n∈N，求证：cn≥an + bn
(十二)解不等式
1、解不等式：
2、解关于x的不等式：
拓展
高中数学不等式的基本性质知识点
1.不等式的定义：a-bb, a-b=0a=b, a-b0a
① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。
②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。
作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。
2.不等式的性质：
① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。
不等式基本性质有：
(1) abb
(2) acac (传递性)
(3) ab+c (cR)
(4) c0时，abc
c0时，abac
运算性质有：
(1) ada+cb+d。
(2) a0, c0acbd。
(3) a0anbn (nN, n1)。
(4) a0isin;N, n1)。
应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。
② 关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：
(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。
(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。
(3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。
不等式的基本性质知识点的相关内容就是这些，希望考生可以深入理解，全面把握。
高中数学关于集合不等式和简易逻辑知识点
重点知识归纳、总结
(1)集合的分类
(2)集合的运算
①子集，真子集，非空子集;
②A∩B={xx∈A且x∈B}
③A∪B={xx∈A或x∈B}
④ A={xx∈S且x A}，其中A S.
2、不等式的解法
(1)含有绝对值的不等式的解法
①x0) -a
x>a(a>0) x>a，或x<-a.
②f(x)
f(x)>g(x) f(x)>g(x)或f(x)<-g(x).
③f(x)<g(x) [f(x)]2<[g(x)]2 [f(x)+g(x)]·[f(x)-g(x)]<0.
④对于含有两个或两个以上的绝对值符号的绝对值不等式，利用“零点分段讨论法”去绝对值. 如解不等式：x+3-2x-1<3x+2.
3、简易逻辑知识
逻辑联结词 “或”、“且”、“非”是判断简单合题与复合命题的依据;真值表是由简单命题和真假判断复合命题真假的依据，理解好四种命题的关系，对判断命题的真假有很大帮助;掌握好反证法证明问题的步骤。
(2)复合命题的真值表
非p形式复合命题的真假可以用下表表示.
p 非p
真 假
假 真
p且q形式复合命题的真假可以用下表表示.
p或q形式复合命题的真假可以用下表表示.
(3)四种命题及其相互之间的关系
一个命题与它的逆否命题是等价的.
(4)充分、必要条件的判定
①若p q且q p，则p是q的充分不必要条件;
②若p q且q p，则p是q的必要不充分条件;
③若p q且q p，则p是q的充要条件;
④若p q且q p，则p是q的既不充分也不必要条件.
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