Question

数学几何证明题，劳烦各位给出证明

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，BD=√￣3，PD⊥底面ABCD．
（1）证明：平面PBC⊥平面PBD；
（2）若二面角P-BC-D为π/6，求AP与平面PBC所成角的正弦值．

烦劳各位能否用几何方法做出一二问，拜托了

Answer 1

(1)
CD=2,BC=1,BD=根3
CD方=BC方+BD方
BC垂直于BD
又因为PD垂直于底面,所以PD垂直于BC
所以BC垂直于平面PBD
所以平面PBC⊥平面PBD
(2)
BC垂直于平面PBD,所以BC垂直于PB
又因为BC垂直于BD
所以角PBD就是二面角P-BC-D的平面角.即角PBD=30度
PD=1,PB=2
V三棱锥P-BDC=1/3*1/2*1*根3*1=(根3)/6
S三角形PBC=1/2*1*2=1
D到平面PBC的距离=3*(V三棱锥P-BDC)/(S三角形PBC)=(根3)/2
因为AD平行于BC,所以AD平行于平面PBC,所以A点与D点到平面的距离相等.
A到平面PBC的距离为(根3)/2
AP=根2
sin角=垂直距离/斜线距离=(根6)/4

很多同学学了空间向量后就只知道这个方法省事.其实还有很多巧妙的几何方法.
本题为一例.
好好体会一下利用三棱锥的体积求点到面的距离,以及利用距离求角度.

Answer 2

考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．　　专题：综合题；空间位置关系与距离．　　分析：（1）证明BC⊥平面PBD，利用面面垂直的判定定理，即可证明平面PBC⊥平面PBD；
（2）确定∠PBD即为二面角P-BC-D的平面角，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，用坐标表示向量及平面PBC的法向量，利用向量的数量积公式，即可求得AP与平面PBC所成角的正弦值．　　解答：（1）证明：∵CD2=BC2+BD2，∵BC⊥BD
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC
又∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD
而BC⊂平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PBD…（5分）
（2）解：由（1）所证，BC⊥平面PBD，所以∠PBD即为二面角P-BC-D的平面角，即∠PBD=π6
而BD=根号3，所以PD=1…（7分）
分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，
后面好像打不出来，等一下我发网址。
点评：本题考查面面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定定理，正确运用向量法求线面角．