Question

如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（-4，4）将点B绕点A顺时针方向90°得到点C，抛物线

如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（-4，4）将点B绕点A顺时针方向90°得到点C，抛物线y=1/4x^2经过点B抛物线上一动点P请探究当点P位于何处时，三角形PAC的周长的最小值
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Answer 1

解：（1）设D点的坐标为（x，y），过A点作x的平行线l，过B点作BE⊥l于E点，过D点作DF⊥l于F点，
∵B点坐标为（3，5）、A点坐标为（0，1），
∴AE=3，BE=4，
∵正方形ABCD，
∴AD=AB，
∵∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠FAD，
在Rt△AEB和Rt△DFA中，
AB=AD ∠BAE=∠ADF ，
∴在Rt△AEB和Rt△DFA中，
∴AF=BE=4，DF=AE=3，
∴D点的坐标为（-4，4）；
D（-4，4）；

（2）设抛物线解析式为y=ax2，抛物线经过点D坐标（-4，4），
即4=16a，解得a=1 4 ，
因此，所求抛物线解析式为y=1 4 x2；

（3）设P点坐标为（x，1 4 x2），A点坐标为（0，1），
|PA|= x2+(1 4 x2-1)2 =1 4 x2+1，点P到x轴的距离d=1 4 x2
点P到点A的距离与点P到x轴的距离之差=|PA|-d=1 4 x2+1-1 4 x2=1；

（4）作A点关于x轴的对称点A′，过A′作x轴的平行线m，过B点作BE⊥直线m交于点E，P′点就是△APB的周长有最小值时P点的位置，
∵A点坐标为（0，1），
∴A′点坐标为（0，-1），
首先证明P′A=P′E，
设P′点坐标为（x，y），
|P′A|= x2+(y-1)2 = 4y+(y-1)2 =|y+1|，|P′E|=|y+1|，
于是证明出P′A=P′E，
而点P'在抛物线上，且其横坐标为3，
∴点P'坐标为（3，9 4 ）；由于两点之间线段最短，那么此时△APB的周长最短；
因此，当点P为（3，9 4 ）时，△APB的周长值最小，且为L=|AB|+|AP|+|BP|=|AB|+|BE|=5+6=11．