Question

证明:(f(x),g(x))=1的充分与必要条件是(f(x)+g(x)),f(x)g(x))=1 应该是吧

Answer 1

f(x), g(x)是多项式吧.
充分性: 设f(x), g(x)有公因式d(x), 即有d(x)|f(x)与d(x)|g(x).
可得d(x)|(f(x)+g(x))与d(x)|f(x)g(x), 即d(x)也为(f(x)+g(x))与f(x)g(x)的公因式.
但(f(x)+g(x),f(x)g(x))=1, 所以d(x)只能为非零常数, 因此(f(x), g(x))=1.
必要性: 设f(x)+g(x)与f(x)g(x)有不可约的公因式d(x).
由d(x)|f(x)g(x), 又d(x)不可约, 有d(x)|f(x)或d(x)|g(x), 不妨设d(x)|f(x).
又d(x)|(f(x)+g(x)), 于是有d(x)|g(x), 故d(x)为f(x), g(x)的公因式.
但(f(x),g(x))=1, 所以d(x)只能为非零常数, 因此(f(x)+g(x),f(x)g(x))=1.
必要性证明用到多项式均可分解为不可约因子的乘积.
以及不可约元的素性(d|ab蕴涵d|a或d|b).
另外, 严格来说不可约元不包含可逆元, 所以必要性部分应该算反证法.