Question

如图，二次函数y=-x2+2x+3的图像与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，顶点为D，M是第一象限抛物线上一点，

当BCM的面积是2时，求M的坐标

Answer 1

由已知可得
B点坐标为（x, 0）
-x^2 + 2x + 3 = 0
x = -1 舍去
x = 3
B点坐标为(3,0)
C点坐标为(0, 3)
S△BOC = 9/2
设M坐标为(x，y)
从M点向x轴做垂线交于P点
S四边形OBMC = OP * OC/2 + MP * OP/2 + MP * PB/2
= OP * OC/2 + MP * (OP + PB) /2
= 3x/2 + 3y/2
S△BCM = S四边形OBMC - S△BOC
= 3x/2 + 3y/2 - 9/2
= 2
整理得
3x + 3y = 13
-3x^2 + 9x + 9 = 13
-3x^2 + 9x - 4 = 0
x = (9 ± √33) / 6
代入方程后可得
((9 + √33) / 6, (17 - √33) / 6)
((9 - √33) / 6, (17 + √33) / 6)
当M在两点中任意一点都符合要求。

Answer 2

由已知可得
B点坐标为（x, 0）
-x^2 + 2x + 3 = 0
x = -1 舍去
x = 3
B点坐标为(3,0)
C点坐标为(0, 3)
S△BOC = 9/2
设M坐标为(x，y)
从M点向x轴做垂线交于P点
S四边形OBMC = OP * OC/2 + MP * OP/2 + MP * PB/2
= OP * OC/2 + MP * (OP + PB) /2
= 3x/2 + 3y/2
S△BCM = S四边形OBMC - S△BOC
= 3x/2 + 3y/2 - 9/2
= 2
整理得
3x + 3y = 13
-3x^2 + 9x + 9 = 13
-3x^2 + 9x - 4 = 0
x = (9 ± √33) / 6
代入方程后可得
((9 + √33) / 6, (17 - √33) / 6)
((9 - √33) / 6, (17 + √33) / 6)
当M在两点中任意一点都符合要求

Answer 3

A点坐标(-1,0)
B点坐标(3,0)
C点坐标(0,3)
AB长3(根2)
面积为2时,M到BC的距离应为2(根2)/3
作直线平行AB,并距离AB为(根2)/3,方程为x+y=13/3,与抛物线的交点即所求的M
M1(2.4574,1.8760)
M2(0.5426,3.7907)

Answer 4

1、∵方程有两个不相等的实根x1、x2
∴△=9-4(m-1)=-4m+13>0
解得：m<13/4
2、根据韦达定理：
x1+x2=-3，x1x2=m-1
则2(x1+x2)+x1x2+10
=2*(-3)+(m-1)+10
=m+3
=0
解得：m=-3