Question

在抛物线x2=1/4y上求一点M，使点M到直线y=4x-5的距离最短

Answer 1

解：∵点M在抛物线x2=1/4y上
∴可设点M的坐标为(m，4m²)
则点M到直线y=4x-5的距离为：
|4m-4m²-5|/√(1²+4²)=|4m-4m²-5|/√17
要使点M到直线y=4x-5的距离最短，即要求|4m-4m²-5|的最小值
∵4m-4m²-5
=-(4m²-4m+5)
=-4(m²-m+1/4)-4
=-4(m-1/2)²-4
≤-4
∴|4m-4m²-5|≥4
当且仅当m=1/2时，|4m-4m²-5|取得最小值4
∴当M坐标为(1/2，1)时，点M到直线y=4x-5的距离最短为4

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Answer 2

易知抛物线开口向上
而直线在抛物线的右侧
令M(t,4t^2)（t>0）
令M到直线的距离为d
由点到直线距离公式有d=|4t-4t^2-5|/√(4^2+1^2)
即d=|4t^2-4t+5|/√17
因4t^2-4t+5=4(t-1/2)^2+4≥4
于是有dmin=4/√17
此时t=1/2
即M(1/2,1)

Answer 3

设所求M点至直线y=4x-5的距离最短，则，M点必在过M点且垂直于直线y=4x-5的直线l上.
设直线l的方程为：y1=-1/4x+b, 将y1代人抛物线方程x^2=y/4中，得：
x^2=-x/16+b/4.
16x^2+x-4b=0.
判别式△=1-4*16*(-4b)=0 【因抛物线上只有一点至直线y=4x-5 的距离最短，即直线y1与抛物线只有一个交点】
b=-1/256.
∴y1=-1/4x-1/256.
再将y1代人抛物线方程中，得：
x^2=(1/4)*(-1/4x-1/256). 化简得：
16x^2+x+(1/16*4)=0
16(x+1/32)^2-16/32^2+(1/16*4)=0.
16(x+1/32)^2=0.
x=-1/32. 将x代人抛物线方程中，得：
y=1/256.
∴ 所求M的坐标为M(-1/32,1/256).

Answer 4

直线斜率k = 4
抛物线y = 4x², y' = 8x
M到直线的距离最短,则过M的切线斜率也是4 = 8x, x = 1/2
M(1/2, 1)

Answer 5

设过M（x0,4x0²)点的切线的斜率为K；
则k=y`=8x0=4; x0=½
所以切点坐标为M(½,1);
所以最小距离d=M点到直线y=4x-5的距离=|4×½-5-1|/√17=4√17/17;
这类问题都可以借助数形结合来思考；你画个图解理解啦

Answer 6

根据题意，过M点抛物线的切线与直线平行。
即y'=8x=4
得M(1/2，1)