Question

数列:2,3,4,6,8,12,16,24,32...的通项公式

用二二叉法解，详细点，谢谢

Answer 1

设{an}：2，3，4，6，8，12，16，24，32，…，
则{bn}={a(n+1)-an}：1，1，2，2，4，4，8，8，…，
{cn}={b(n+1)-bn}：0，1，0，1，0，1，0，…。
于是b(n+1)-bn=cn=[1+(-1)^n]/2，
运用迭加法，得bn=b1+c1+c2+…+c(n-1)=1+(n-1)/2 - [1+(-1)^n]/4= (2n+1)/4 -[(-1)^n]/4，
即a(n+1)-an=(2n+1)/4 -[(-1)^n]/4，
再运用迭加法，得an=a1+b1+b2+…+b(n-1)=2+ (n²-1)/4 + [1+(-1)^n]/8=[2n²+15+(-1)^n]/8。n=1时也成立，
故an=[2n²+15+(-1)^n]/8。

Answer 2

　　A[2n-1]=2^n
　　A[2n]=3*2^(n-1)

追问

然后合并的结果呢？

追答

An=(2+(-1)^n)*2^([(n+1)/2]-(1+(-1)^n)/2)
其中，[(n+1)/2] 表示 (n+1)/2 的整数部分，即不超过(n+1)/2的最大整数。

或者：
An=(2+(-1)^n)*2^(n/2-1/4-(3/4)(-1)^n)

Answer 3

2,3,4,6,8,12,16,24,32

奇次项：a(2n-1)=2^(n+1)/2
偶次项：a(2n)=3*2^(n/2-1)

Answer 4

2,3,4,6,8,12,16,24,32...==〉{2,3}*{1,1,2,2,4,4,8,8,…}

一般来说

•  0  1  2  3  4 ...==〉n-1

•  0 -1  0 -1  0 ...==〉-0.5*[1+(-1)^n]

•  0  0  2  2  4 ...==〉n-1-0.5*[1+(-1)^n]

•  0  0  1  1  2 ...==〉(n-1-0.5*[1+(-1)^n])/2

于是有

• {2,3}==〉2.5+0.5*(-1)^n 

• {1,1,2,2,4,4,8,8,…}==〉{2^0,2^0,2^1,2^1,2^2,2^2,2^3,2^3,2^4,2^4…}
  

• {0,0,1,1,2,2,3,3,4,4…}==〉(n-1-0.5*[1+(-1)^n])/2

联立上面三式，可得最终通项公式：

An=[2.5+0.5*(-1)^n]*2^{(n-1-0.5*[1+(-1)^n])/2}