Question

已知y=(1/3)x^3+bx^2+(b+2)x+3是R上的单调增函数，则b的取值范围是( ) A、b<-1或b>2 B

已知y=(1/3)x^3+bx^2+(b+2)x+3是R上的单调增函数，则b的取值范围是( )
A、b<-1或b>2 B、b<=-1或b>=2 C、-1<b<2 D、-1<=b<=2

Answer 1

求导数，y’=x^2+2bx+b+2恒大于或等于0，所以△<=0
即(2b)^2-4*(b+2)<=0
化简得b^2-b-2<=0
(b-2)(b+1)<=0
所以，-1<=b<=2，选D
标准答案选C是错误的，记住一句话即可：当函数的导数在有限个点处等于0时不影响函数的单调性。（有限个点也就是数量可数的意思）

追问

答案是C，我在解题的过程中，有时y'>0,原函数单调递增，而有时y'>=0时，原函数也是单调递增。我现在有点混乱了，不知道什么时候要考虑等号，而什么时候又不用考虑呢？请解释一下，谢谢!

追答

简单来说，我们求单调区间是可以写成[ , ]或( , )，所以对于求单调区间来说写>或>=都无所谓；
但是对于求参数范围，你可以写成y'>0，然后判断端点值（如本题中的-1和2），代入y'中，只要y'不是恒为0就可以取。（如把-1代入y’得y'=x^2-2x+1不是恒为0，所以可以），但如果代入之后变成y'=0，就不行。
所以本题确实选D，你要相信我。

Answer 2

求导得：y'=x²+2bx+(b+2)
由于y在R上递增，y'>0在R上恒成立。
y'表示开口向上的抛物线，其恒正性等价于y'与x轴没有交点。
故判别式=(2b)²-4*(b+2)<0,
b²-b-2<0,
得到：-1<b<2.
选C。
不选D的原因在于：单调增函数的定义是，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数。
如果取了等号，就是y是常数函数。对于x1<x2,y1=y2，不符合定义。所以不能是常数函数，也就是不能取等号。
故选C。

追问

答案是C,可我觉得D也没错，什么时候要考虑等号，而什么时候又不用考虑呢？请解释一下，谢谢!

追答

不选D的原因在于：单调增函数的定义是，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数。
如果取了等号，y'=0, 就是说y是常数函数。对于x1<x2,y1=y2，不符合定义。所以不能是常数函数，也就是不能取等号。
故选C。

追问

但是有时做解答题的过程中，我也见过当f(x)'>=0时，原函数f(x)是单调递增的哦,这又怎么去理解呢？

Answer 3

y'=x^2+2bx+b+2
由题有，x属于R，y'≥0恒成立
即，△≤0
解得-1≤b≤2

Answer 4

已知y=(1/3)x^3+bx^2+(b+2)x+3是R上的单调增函数，则b的取值范围是( )
A、b<-1或b>2 B、b<=-1或b>=2 C、-1<b<2 D、-1<=b<=2
选D

追问

答案是C,可我觉得D也没错，什么时候要考虑等号，而什么时候又不用考虑呢？请解释一下，谢谢!

追答

单调增函数可以取=，如果是严格单调递增则不可以取=