Question

矩阵分析（一）线性空间

Answer 1

线性空间是定义在数域 上满足某些运算规律的向量集合，而数域本身也是一种特殊的集合。所以我们先讲数域，再讲线性空间

什么是数域？数域是一种数集，元素的和、差、积、商仍在数集中（举有封闭性），称为数域。如，有理数域 ，复数域 ，实数域

线性空间的定义：

注：

简单点说，上述 8 条，只要有任意一条不满足，则 就不是数域 上的线性空间（线性空间中的元素叫向量）

是数域，判断 是否为数域 上的线性空间

解：判断是否线性空间，只需要证明集合 在数域 上是否满足上述 8 条。这里明显满足条件，因此 是数域 上的线性空间

表示所有正实数集合，在 中定义加法 与数量乘法 分别为

判断 是否构成实数域 上的线性空间

解：通过证明交换律，结合律，零元素，负元素，数乘结合律，两个分配律。因此 是实数域 上的线性空间

设 是由系数在实数域 上，次数为 的 次多项式 构成的集合，其加法运算与数乘运算按照通常规定，举例说明 不是 上的线性空间

证略