Question

一道高一数学题（关于基本初等函数）

已知二次函数f（x）=x2+x的定义域D 恰是不等式 f（-x）+f（x）≤2|x|的解集，其值域为A．函数 g(x)=x3-3tx+ 0.5t的定义域为[0，1]，值域为B．

问：是否存在实数t，使得A⊆B成立？若存在，求实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由．
过程可以简略一些，但是写清楚你们的思路。

Answer 1

已知二次函数f（x）=x2+x的定义域D 恰是不等式 f（-x）+f（x）≤2|x|的解集，其值域为A．函数 g(x)=x3-3tx+ 0.5t的定义域为[0，1]，值域为B．问：是否存在实数t，使得A⊆B成立？若存在，求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．
解题思路：
首先：求出二次函数f(x)=x2+x的值域A；
其次：分析函数g(x)=x^3-3tx+ 0.5t的单调性；
最后：确定函数g(x)=x^3-3tx+ 0.5t的值域，求出满足题意要求的t的取值范围；

解析：∵二次函数f（x）=x^2+x的定义域D 恰是不等式 f（-x）+f（x）≤2|x|的解集
F(-x)=x^2-x==>f（-x）+f（x）=2x^2<=2|x|
解得-1<=x<=1
∴函数f(x)=x^2+x=(x+1/2)^2-1/4的定义域D=[-1,1]
f(1)=2，∴函数f(x)值域为A=[-1/4,2]

∵函数g(x)=x^3-3tx+1/2t的定义域为[0，1]，值域为B
令g’(x)=3x^2-3t=0==>x1=-√t，x2=√t (t>0)
g’’(x)=6x==> g’’(x1)<0，g(x)在x1处取极大值；g’’(x2)>0，g(x)在x2处取极小值；

(1)当t<=0时，g’(x)>=0，g(x)在定义域内单调增；
g(0)=1/2t，g(1)=1-5t/2，其值域为B=[t/2,1-5t/2]
令t/2<=-1/4==>t<=-1/2；1-5t/2>=2==>t<=-2/5
∴当t<=-1/2时，满足A⊆B成立
(2)当0<t<1时，g(x)在定义域内不单调，在x=√t处取极小值g(√t)=√t/2-2t^(3/2)
令1/2t=1-5t/2==>t=1/3，
∴当0<t<1/3时，g(x)值域为B=[√t/2-2t^(3/2),1-5t/2]；
令√t/2-2t^(3/2)<=-1/4==>t>=0.4387；1-5t/2>=2==>t<=-2/5
在此区间，不满足A⊆B成立
当1/3<=t<1时，g(x)值域为B=[√t/2-2t^(3/2),t/2]
令√t/2-2t^(3/2)<=-1/4==>t>=0.4387；t/2>=2==>t>=4
在此区间，不满足A⊆B成立
(3)当t>=1时，g(x)在定义域内单调减；其值域为B=[1-5t/2,t/2]
令1-5t/2<=-1/4==>t>=1/2；t/2>=2==>t>=4
∴当t>=4时，满足A⊆B成立

综上：满足A⊆B成立，t的取值范围是：(-∞,-1/2]∪[4,+∞)

Answer 2

楼主你好

可以从三个角度分析：
①当 t≤0时，函数 g（x）=x^3-3tx+0.5t在 x∈[0，1]单调递增，可求B，进而可求t的范围

②当 0＜t＜1 时，函数 g（x）的减区间为：[0,√t]；g（x）的增区间为：[√t,1]．
g（x）在 x=达到最小值．
③当t≥1时，函数 g（x） 在区间[0，1]单调递减可求t的范围

解：①当t≥1时，函数 g（x） 在区间[0，1]单调递减，∴B=[1-5/2t，t/2]
∴t/2≥2 且1-5/2t≤ -1/4 ，即t≥4
综上所述：t的取值范围是：(-∞，-1/2]∪[4，+∞)

②当 0＜t＜1 时，函数 g（x）的减区间为：[0,√t]；g（x）的增区间为：[√t,1]．
g（x）在 x=达到最小值．g(0)≥2或g(1)≥2；且g(√t)≤ -1/4 此与0＜t＜1矛盾．

③当t≥1时，函数 g（x） 在区间[0，1]单调递减，∴B=[1-5/2t,t/2]
∴t/2≥2且1-5/2t≤-1/4，即t≥4
综上所述：t的取值范围是：(-∞，-1/2]∪[4，+∞)

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