Question

设A为n阶正定矩阵,B为n*m阶矩阵,证明r(BTAB)=r(B) T为上标

Answer 1

上标一般记为B^T, 这里为了简明, 用B'表示B的转置.
我们证明线性方程组B'ABX = 0与BX = 0是同解方程组, 然后由解空间的维数公式即得结论.

首先BX = 0的解显然是B'ABX = 0的解.
反过来, 若X满足B'ABX = 0, 则(BX)'A(BX) = X'B'ABX = 0.
而A正定, 故由(BX)'A(BX) = 0可得BX = 0, 即X也是BX = 0的解.
因此B'ABX = 0与BX = 0同解, 解空间维数m-r(B'AB) = m-r(B).
即得r(B'AB) = r(B).

追问

设W={(x1,x2,x3)T︱x1^2+x2^2=1}是不是 R^3的子空间？T是上标。请问这个怎么解？

追答

不是子空间.
最简单的看法是(0,0,0)^T不在其中.