Question

已知△ABC的重心的直线交AB边于Q,交AC边于P,设向量AP=λ向量AB,向量AQ=μ向量AC，求证1/λ+1/μ=3

已知△ABC的重心的直线交AB边于Q,交AC边于P,设向量AP=λ向量AB,向量AQ=μ向量AC，求证1/λ+1/μ=3

Answer 1

你题目的叙述有点乱。如图。

AD 是中线，G 是重心，那么 AG=2GD ，

因此 AG=2/3*AD=2/3*1/2*(AB+AC)=1/3*AB+1/3*AC=1/(3λ)*AP+1/(3μ)*AQ ，

由于 G、P、Q 三点共线，因此 1/(3λ)+1/(3μ)=1 ，

所以 1/λ+1/μ=3 。

Answer 2

题目叙述稍微有点问题，依据题意，应该是：向量AQ=λ向量AB,向量AP=μ向量AC
设重心是O，BC边中点是D，则：AO=(2/3)AD=(2/3)*2(AB+AC)=(AB+AC)/3
故：OQ=AQ-AO=λAB-(AB+AC)/3=(λ-1/3)AB-AC/3
PO=AO-AP=(AB+AC)/3-μAC=AB/3+(1/3-μ)AC，因PO与OQ是共线向量
故存在关系：OQ=kPO，即：(λ-1/3)AB-AC/3=k*(AB/3+(1/3-μ)AC)
即：(λ-1/3)=k/3，-1/3=k(1/3-μ)，即：λ=1/3+k/3=(k+1)/3，μ=1/3+1/(3k)=(k+1)/(3k)
故：1/λ+1/μ=3/(k+1)+3k/(k+1)=3(k+1)/(k+1)=3