Question

求经过点M（3，-1），且与圆C：X^2+Y^2+2X-6Y+5=0相切与点N（1，2）的圆的方程

Answer 1

 

圆C：X²+Y²+2X-6Y+5=0,，得：(x+1)²+(y-3)²=5，圆心C(-1，3)。

根据CN两点坐标，求出直线CN的方程为：y=-0.5x+2.5----(1)

MN的中点B[(1+3)/2，(2-1）/2]，即：    B(2，0.5）

根据MN两点的坐标，求出直线MN的方程为：y=-1.5x+3.5

过点B作MN的垂线AB，AB的斜率=-1÷（-1.5）=2/3

根据点斜式，求出AB的方程为：y=2x/3-5/6----（2）

（1）、（2）建立方程组，解得：x=20/7，y=15/14，即：A(20/7，15/14)

根据AN两点坐标，求出AN²=845/196

所以，圆A的方程为：(x-20/7)²+(y-15/14)²=845/196

自己去化简吧。

Answer 2

把点N看成半径为0的圆.(x-1)^2+(y-2)^2=0
设所求圆的方程为:
k(x^2+y^2+2x-6y+5)+[(x-1)^2+(y-2)^2]=0
把M(3,-1)代入,得:
27k+13=0
k=-13/27
代入整理得圆的方程
x^2-40/7x+y^2-15/7y+5=0

过两圆的交点的圆,可以用圆系来求解.计算量省了很多.
本题是圆系的一个经典应用,计算巧妙,比常规算法简单N倍.
你好好体会一下.

Answer 3

圆C：(X+1)^2+(Y-3)^2=5，圆心C(-1，3)，
直线CN：Y-2=-1/2(X-1)，Y=-1/2X+5/2，
设所求圆的圆心为D(m，-1/2m+5/2)
由DM=DN得方程：
(m-3)^2+(-1/2m+5/2+1)^2=(m-1)^2+(-1/2m+5/2-2)，
解得：m=20/7，∴D(20/7，15/14)，
DN=13√5/14，
∴圆方程：(X-20/7)^2+(Y-15/14)^2=845/196。

Answer 4