Question

半径为R质量为M的圆盘，回转轴为穿过圆盘中心并与圆盘平行的轴转动的转动惯量及力矩怎么求？如图

Answer 1

可以根据垂直轴定理得到结果，当然也可以直接计算。

设圆盘的质量面密度为µ,

取圆盘上一小块儿作为微元，在极坐标下dm=µrdrdθ，

所以这一小块儿的转动惯量dJ=dm(rcosθ)^2，

积分得到J=1/4mR^2。（r从0到R，θ从0到2π）。

追问

你这个是转动轴垂直于盘面 而不是平行平面 我问的是平行于圆盘平面的转动惯量

追答

我这个就是转动轴平行（通过）盘面。因为dJ=dm(rcosθ)^2，而不是dJ=dm*r^2。
如果转轴垂直于盘面，则J=1/2mR^2。

追问

按照你给的方法 积分出来确实是J=1/2MR^2而不是1/4MR^2
你能不能给个详细的计算过程呢？

追答

J=∫dJ
=∬μrdrdθ(rcosθ)^2
=μ∫r^3dr∫(cosθ)^2dθ
=μ(1/4r^4)(θ/2+sin2θ/4) （r从0到R，θ从0到2π）
=1/4μπR^4
=1/4mR^2