Question

空间向量在立体几何中的应用（一）

Answer 1

向量在立体几何中占有重要的地位，且扮演着一个非常重要的角色，其应用打破了立体几何的传统解法，可以减少大量的辅助作图以及对图形的分析、想象过程，能直接使用代数运算来解决立体几何中的计算和证明问题．在近几年的高考中几乎每年都有出现，其题型主要是大题形式出现，有时也会在选择题或填空题中应用．

使用情景：立体几何中证明垂直问题
解题步骤：

第一步 首先根据已知条件建立适当的空间直角坐标系并标出相应点的空间坐标；
第二步 然后将已知条件转化为空间向量问题并对其进行求解；[来源:学+科+网]
第三步 得出结论．
【例1】、直三棱柱 中，底面 中， ， ，棱 ， 、 分别为 、 的中点.

求证： .

证明：以 为原点， 、 、 分别为 轴， 轴， 轴正方向，建立空间直角坐标系

依题意有 ， ， ， ，

，

【例2】、如图所示， 平面 ，且四边形 为正方形， , 是 的中点， .

(1)建立适当的空间坐标系，写出点 的坐标；

(2)在平面 内求一点 ，使 平面 .

【答案】
(1) 点 的坐标是
(2) 是 的中点时满足 平面 ．
【解析】

(1)如图所示,

以 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，

则 、 、 ，设 ，则 ，

， ，，

，

解得 ，

所以点 的坐标是 .

(2) 平面PAD， 可设

则 ，又 ， ，

平面 ， 且

即 ， ，

点的坐标为 ，即点 是 的中点时满足 平面 ．

使用情景：立体几何中证明平行问题
解题步骤：

第一步 首先根据已知条件建立适当的空间直角坐标系并标出相应点的空间坐标；
第二步 然后将已知条件转化为空间向量问题并对其进行求解；
第三步 得出结论．

【例】如图, 已知矩形 所在平面垂直于直角梯形 所在平面于直线 ，且 ， ， ，且 . 设点 为棱 中点，求证： 平面 ；(同探索问题例题)

【证明】：

由已知，平面 平面 ，且 ，则 平面

所以 ， ， 两两垂直

故以 为原点， 、 、 分别为 轴， 轴， 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则 ， ， ， ， ，

所以

易知平面 的一个法向量等于 ，

所以

又 平面

所以 平面

【总结】

利用空间直角坐标系求解空间角的关键是建立空直角坐标系，而建立空间直角坐标系主要途径：

（1）一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；

（2）如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点；

（3）建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系．