方程x 3 -6x 2 +9x+1=0的实根个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4
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设f（x）=x 3 -6x 2 +9x+1，
∴f′（x）=3x 2 -12x+9，
令f′（x）=0，解得x 1 =1或x=3，
当x＜1时，f′（x）＞0，则f（x）在（-∞，1）上单调递增，
当1＜x＜3时，f′（x）＜0，则f（x）在（1，3）上单调递减，
当x＞3时，f′（x）＞0，则f（x）在（3，+∞）上单调递增，
∴当x=1时，函数f（x）取得极大值f（1）=5，
当x=3时，函数f（x）取得极小值f（3）=1，
∵f（1）＞0，f（3）＞0，
∴函数f（x）与x轴只有一个交点，
∴方程x 3 -6x 2 +9x+1=0的实根个数是1个．
故选A．
∴f′（x）=3x 2 -12x+9，
令f′（x）=0，解得x 1 =1或x=3，
当x＜1时，f′（x）＞0，则f（x）在（-∞，1）上单调递增，
当1＜x＜3时，f′（x）＜0，则f（x）在（1，3）上单调递减，
当x＞3时，f′（x）＞0，则f（x）在（3，+∞）上单调递增，
∴当x=1时，函数f（x）取得极大值f（1）=5，
当x=3时，函数f（x）取得极小值f（3）=1，
∵f（1）＞0，f（3）＞0，
∴函数f（x）与x轴只有一个交点，
∴方程x 3 -6x 2 +9x+1=0的实根个数是1个．
故选A．
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