高数 求全微分 求函数z=arctan(x+y)/(1-xy)的全微分
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设z=arctanu/v,而u=x+y,v=1-xy
所以dz=[1/(1+(u/v)^2)×(1/v)]du+[1/(1+(u/v)^2)×(-u/v^2)]dv
又因为du=dx+dy,dv=-ydx-xdy
代入dz
得
dz=[1/(1+(x+y/1-xy)^2)×(1/1-xy)](dx+dy)+[1/(1+(x+y/1-xy)^2)×(-x+y/(1-xy)^2)](-ydx-xdy)
化简得
dz=1/(1+x^2)dx+1/(1+y)^2dy
所以dz=[1/(1+(u/v)^2)×(1/v)]du+[1/(1+(u/v)^2)×(-u/v^2)]dv
又因为du=dx+dy,dv=-ydx-xdy
代入dz
得
dz=[1/(1+(x+y/1-xy)^2)×(1/1-xy)](dx+dy)+[1/(1+(x+y/1-xy)^2)×(-x+y/(1-xy)^2)](-ydx-xdy)
化简得
dz=1/(1+x^2)dx+1/(1+y)^2dy
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