若x，y为正整数，使得x 2 +y 2 -x能被2xy整除，证明：x为完全平方数．
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证明：∵x 2 +y 2 -x能被2xy整除，则有x 2 +y 2 -x=2kxy（k为整数）整理成关于y的二次方程：y 2 -2kxy+（x 2 -x）=0（1）
由题设，此方程有一根y 1 为整数，由韦达定理，另一根为y 2 满足y 2 =2kx-y 1
故y 2 也是整数，因而方程（1）有两个整数根，于是其判别式
△=4[k 2 x 2 -（x 2 -x）]=4x[（k 2 -1）x+1]应为完全平方数．
由于x和（k 2 -1）x+1互质，
故必为完全平方数．
由题设，此方程有一根y 1 为整数，由韦达定理，另一根为y 2 满足y 2 =2kx-y 1
故y 2 也是整数，因而方程（1）有两个整数根，于是其判别式
△=4[k 2 x 2 -（x 2 -x）]=4x[（k 2 -1）x+1]应为完全平方数．
由于x和（k 2 -1）x+1互质，
故必为完全平方数．
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