Question

求解一道初中几何题

已知，正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，角ADE=15度，过D作DG垂直ED于D，且AG=AD，过G作GF平行AC交ED的延长线于F。
（1）若ED=4√6求AG
（2）求证2DF+ED=BD

我知道第一个问题怎么做但是做不来第二个

Answer 1

解：（1）略
（2）过点G作GH垂直于AD于H，易知∠GAH=30°，所以GH=AG/2，AH=√3AG/2，进而可求
出GD=(√6-√2)AG/2。易得∠F=60°，所以DF=GD/√3=(3√2-√6)AG/6。
可以求得∠EDO=30°，所以ED=2OD/√3=√6AD/3=√6AG/3
∴2DF+ED=√2AG=√2AD=BD

追问

怎么可以得出GD=(√6-√2)AG/2

追答

HD=AD-AH=AG-AH=(1-√3/2)AG
GD=√(GH2+HD2)=√(2-√3)AG=√(8-4√3)AG/2=(√6-√2)AG/2。

Answer 2

（1）做EH垂直AD于H
在直角三角形HED中，ED=4√6，∠ADE=15°
正弦定理得
sin∠ADE=HE/DE
sin（45-30）=HE/4√6
HE=（√6-√2）/2
余弦定理得
cos∠ADE=HD/DE
cos（45-30）=HD/4√6
HD=(√3+1)/2
等边直角三角形AEH中，AH=HE=（√6-√2）/2
所以AG=AD=AH+HD=(√6-√2+√3+1）/2
（2）我把方法告诉你
做GM垂直AD于M
角DEC=角DAE+角ADE=60
GF平行AC
角F=60°用DG表示出DF
在三角形AGM中。用AG表示GM，因为AG=AD即用AD表示GM
在三角形GDM中，用GM表示GD
通过上面的式子，可以用AD表示出DF
AD=√2/2BD
然后用BD表示DF
再用BD(也就是2OD)表示ED
然后ED+DF就出来了

追问

我就是不知道如何用AD表示DF

Answer 3

GD²=GH²+DH²=AG²/4+(AD-AH)²=AG²/4+(AG-√3/2AG)²=(√6-√2)²AG²/4