Question

已知函数y=sin²x+ sinx +cosx +2（x∈R）,求函数y的值域

Answer 1

如果是y=sin2x+sinx+cosx+2，那好求，y=1+2sinxcosx+(sinx+cosx)+1=(sinx+cosx)²+(sinx+cosx)+1
令t=sinx+cosx=√2sin(x+π/4), |t|<=√2
则y=t²+t+1=(t+1/2)²+3/4
t=-1/2时，y最小为3/4
t=√2时，y最大为3+√2
y的值域为[3/4, 3+√2]

如果是y=sin²x+ sinx +cosx +2,则比较复杂，可用导数法。
y=sin²x+sinx+cosx+2
=(1-cos2x)/2+√2sin(x+π/4)+2
=-(1/2)sin(2x+π/2)+ √2sin(x+π/4)+5/2, 记t=x+π/4
=-(1/2)sin(2t)+ √2sint+5/2
求导：y’=-cos(2t)+ √2cost=-2(cost)²+1+√2cost=0
即2(cost)²-√2cost-1=0
得：cost=(√2±√10)/4
因为|cost|<=1,所以只能取cost=(√2-√10)/4, 即得到了极值点
再求得sin2t, sint, 代入即可得极小值，极大值。从而得到值域。