Question

已知函数f（x）=sin2x+2sin（[π/4]-x）•cos（[π/4]-x）

Answer 1

解题思路：（1）根据诱导公式、两角和的正弦函数公式化简解析式，再求出函数的周期；（2）由x的范围求出2x+π4∈[π12，5π4]，根据正弦函数的性质求出函数的最小值、最大值，即可求出函数的值域；（3）由条件列出表格、再描点连线画出函数的图象，根据图象写出递增区间．

（1）∵f （x）=sin 2x+sin （[π/2]-2x）
=sin 2x+cos2x
=
2（

2
2sin 2x+

2
2cos 2x）
=
2（sin 2x cos [π/4]+cos 2x sin [π/4]）
=
2sin （2x+[π/4]）
∴函数的周期T=[2π/2]=π…（4分）
（2）∵x∈[−
π
12，
π
2]，∴2x+
π
4∈[
π
12，
5π
4]，
当2x+
π
4＝
π
2时，f（x）取最大值
2，
当2x+
π
4＝
5π
4时，f（x）取最小值
2sin
5π
4=-1，
∴函数f（x）在区间[-[π/12]，[π/2]]上的值域为[-1，
2]…（8分）
（3）列表

μ＝2x+
π
4[π/8][π/2]π[3π/2]2π
x0[π/8][3π/8][5π/8][7π/8]
y1
20−
20…（10分）
图象如右图所示，注意f（0）=1…（12分）
由图得，
函数在区间[0，
7π
8]上的单调递增区间是[0，
π
8]，[
5π
8，
7π
8]…（14分）

点评：
本题考点： 两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域；五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．

考点点评： 本题考查诱导公式、两角和的正弦函数公式，正弦函数的图象与性质，以及五点作图法，属于中档题．