Question

可是一个除法一个除法算式被除数一个除法算式被除数除数商和余数的和是一百七十其中除数商和余数的和是1？

Answer 1

被除数=除数×商十余数
被除数十除数十商十余数=170
除数×商十除数十商十2余数=170
设除数=a，商=b，余数=c，
ab十a十b十2c=170
a≥c十1
b，c≥0
这是一个三元不定方程，求≥0的整数解。
这几个式子，交换除数与商不变，因此求得一个解之后，交换除数和商，就得到另一个解。如果商是0,不能交换，因为0不能做除数。除数≥余数十1,如果商≤余数，也不能交换。
本题有很多解。
这种方程的解法，主要使用因数法。
2c与170都是偶数，所以ab十a十b也是偶数，设ab十a十b=2d，
(a十1)(b十1)=2d十1
a十1,b十1是后面的因数，后面是奇数，所以，a，b都是偶数。
2d十2c=170，d十c=85。
(1),c=0,a≥1,d=85，2d=170
ab十a十b=170≥2b十1，b≤169/2=84
(a十1)(b十1)=171=3²×19
b=0,a=170,0/170=0......0；
b=2,a=56,c=0,2×56=112,112÷56=2……0；
ab交换:
b=56，a=2，c=0,112÷2=56……0
b=8,a=18,c=0,8×18=144,144÷8=18……0；
ab交换，b=18,a=8,8×18=144,144÷18=8……0
(2)c=1,d=84，a≥2,
(a十1)(b十1)=169=13²
b=0,a=168，c=1,商1，1÷168=0……1
b=12,a=12,商12×12十1=145,145÷12=12……1
(3)c=2，a≥3,d=83，
(a十1)(b十1)=167，质数，b十1≤167/3=55.666667，b≤54
唯一解，b=0,a=166，c=2,被除数2，2÷166=0……2。
(4)c=3，a≥4,d=82,
(a十1)(b十1)=165=3×5×11
b十1≤165/4=41.25，b≤40
b=0,a=164，商3，3÷164=0……3
b=2,a=54,商2×54十3=111,111÷54=2……3,b〈3，不可交换。
b=4，a=32,商4×32十3=131,131÷32=4……3,
交换，b=32，a=4；
b=10,a=14，商10×14十3=143，143÷14=10……3,
交换:b=14，a=10；
(5)c=4,a≥5,d=81，
(a十1)(b十1)=163,质数，唯一解:
b=0,a=162，商4，4÷162=0……4
(6)c=5，a≥6,d=80
(a十1)(b十1)=161=7×23
b=0,a=160，商5,5÷160=0……5,
b=6,a=22,商6×22十5=137，137÷22=6……5,
交换:b=22，a=6；
……
其他余数，做法类似。自行练习完成。