Question

若函数y=x^2+ax+1(x≤3)存在反函数,则a的取值范围是

Answer 1

若函数y=x²+ax+1(x≤3)存在反函数,则a的取值范围是

解：y=(x+a/2)²-a²/4+1，对称轴为x=-a/2；该函数只在x≤3存在反函数，故必有-a/2≧3，即a≤-6。
这是因为只有一一对应的函数【一个x对应一个y，且一个y对应一个x，谓之一一对应】才有反函数；二次函数的自然定义域是全体实数，在其全部定义域内，一个y总是对应着两个x，故二次函
数在其全部定义域内没有反函数；但在其对称轴的左边或右边都有反函数。题目要求在x≤3时有反
函数，这就要求对称轴x=-a/2在x=3的右边，即-a/2≧3，也就是a≤-6.