Question

设函数f(x)=sin(π/4x-π/6)-2cos²(π/8x)+1 (1)求f(x)的最小正周期(2)若函数y=g(x)与y=f(x)的图像

关于直线x=1对称，求当x∈[0,4/3]时,y=g（x）的最大值

Answer 1

解：
f(x)＝sin(πx/4－π/6)－2cos²(πx/8)＋1
＝sin(π/4)xcos(π/6)－cos(π/4)xsin(π/6)－cos(π/4)x
＝√3/2sin(π/4)x－3/2cos(π/4)x
＝√3sin[(π/4)x－(π/3)]

在g(x)的图像上任取一点(x，g(x) )，它关于x＝1的对称点(2－x，g(x) )
∴点(2－x，g(x) )在y＝f(x)的图像上
从而g(x)＝f(2－x)＝√3sin[(π/4)(2－x)－(π/3)]＝√3sin[(π/2)－(π/4)x－(π/3)]＝√3cos[(π/4)x＋(π/3)]
当0≤x≤4/3时，π/3≤(π/4)x＋(π/3)≤2π/3时
∴y＝g(x)在区间[0，4/3]上的最大值是：g(x)max＝√3cos(π/3)＝√3/2

Answer 2

⑴f(x)=sin(πx/4-π/6)-2cos²πx/8+1
=sin(πx/4-π/6)-（2cos²πx/8-1）
=sinπx/4cosπ/6-cosπx/4sinπ/6-cosπx/4
=√3/2*sinπx/4-3/2cosπx/4
=√3(1/2sinπx/4-√3/2*cosπx/4)
=√3sin(πx/4-π/3)
T=2π/(π/4)=8

⑵g(x)与f(x)关于直线x=1对称

g(x)=f(2-x)=√3sin[π(2-x)/4-π/3)
=√3sin(-πx/4+π/6)
=-√3sin(πx/4-π/6)
∵ 0≤x≤4/3
∴ 0≤ πx/4≤π/3
∴ -π/6≤πx/4-π/6≤π/6
∴ -1/2≤sin(πx/4-π/6)≤1/2
∴-√3/2≤-√3sin(πx/4-π/6)≤√3/2
∴πx/4-π/6=-π/6,x=0时，g(x)取得最大值√3/2