Question

如图,已知圆o的直径AB与弦CD相交于点E，弧BC=弧BD，过点B做

BF∥CD与弦AD的延长线交与点F (1)求证 FB是圆○的切线
（2） 连接BC，若圆O的半径为4 cosC=3比4，求线段AD CD 的长

Answer 1

⑴连接BD，∵弧BC=弧BD，AB为直径，∴AB⊥CD，(垂径定理)，
∵BF∥CD，∴AB⊥BF，
∴BF是⊙O的切线。
⑵在RTΔBCE中，设CE=3K(K>0)，∵cosC=3/4，∴BC=4K，
∴BE^2=BC^2-BE^2=7K^2，
连接OC，在RTΔOCE中，
根据勾股定理：OE^2+CE^2=OC^2，
∴(4-√7K)^2+9K^2=16，
16K^2-8√7K=0，
K=√7/2或K=0(舍去)，
∴CD=2CE=6K=3√7，
OE=OB-BE=4-7/2=1/2
∴AE=4+OE=9/2，
∴AD=√(AE^2+DE^2)=6

Answer 2

1）连OP,交BC于点E,
因为BC弧=BD弧，AB是直径
所以AB⊥CD
因为BF∥CD
所以BF⊥AB
又B在圆上
所以BF是圆的切线

2)连BD
因为BC弧=BD弧
所以∠C=∠A,
由cosC=3比4，得
cosA=3/4=AD/AB,
即AD/8=3/4
解得AD=6，
在直角三角形ABD中，由勾股定理，得BD=2√7
斜边上的高DE=3√7/2
所以CD=2BD=3√7