Question

不动点求数列通项的原理

Answer 1

　　求用不动点的原理,求数列通项的例子
数列中,A1=1,A2=2,A(n+2)=-A(n+1)+2An （A后的括号代表下标）求An通项
这道体我当时记了个方法：原式变形后 A(n+2)+A(n+1)-2An＝0
令 X^2+X-2=0 解得X=-2 或 1 所以｛A(n+1)-An｝为公比-2的数列；｛A(n+1)+2An｝为公比1的数列
然后联立 解出来
上述方法,应该说是特征根法和不动点法.
特征根：
对于多个连续项的递推式（不含常数项）,可化为X的(n-1)次方程.
即：a0*An+a1*An+1+a2*An+2+...ak*An+k可写为：
a0+a1x+a2x^2+...akx^(k-1)=0
然后求出根（实根虚根都可以）,不同项写成C*x^(n-1),相同项写成关于n的整式,有多少同根,n的次数就是同根数减1,比如求出x1=2,x2=3,x3=3,x4=6,x5=3,通项就是：a*2^(n-1)+b*6^(n-1)+3*(cn^2+bn+d),其中abcde都是待定系数,要靠已知项联立方程求解.
不动点：
比如：已知a1=1,且a(n+1)=1+2/an (n大于等于1),求an
a(n+1)=(an+2)/an(*)
令an=x,a(n+1)=x
x=(x+2)/x
x^2-x-2=0
x1=2,x2=-1
{(an-2)/(an+1)}为等比数列
令(an-2)/(an+1)=bn
b(n+1)/bn=[(a(n+1)-2)/(a(n+1)+1)]/[(an-2)/(an+1)]
(将a(n+1)用*式换成an)
=-1/2
b(n+1)=(-1/2)bn
b1=-1/2
bn=(-1/2)^n=(an-2)/(an+1)
an=[2+(-1/2)^n]/[1-(-1/2)^n],n>=1
注：形如：a(n+1)=(Aan+B)/(Can+D),A,C不为0的分式递推式都可用不动点法求.让a(n+1)=an=x,代入化为关于x的二次方程
(1)若两根x1不等于x2,有{(an-x1)/(an-x2)}为等比数列,公比由两项商求出
(2)若两根x1等于x2,有{1/(an-x1)}为等差数列,公差由两项差求出
若无解,就只有再找其他方法了.
并且不动点一般只用于分式型上下都是一次的情况,如果有二次可能就不行了.
对于原理,要大学才学,是建立在对方程的研究之上的.