Question

数列不动点法原理

Answer 1

数列不动点法原理：

对于函数 f(x) ，若存在实数 x0 ，使得 f(x0)=x0 ，则称 x=x0 是函数 f(x) 的（一阶）不动点。

同样地，若 f(f(x0))=x0 ，则称 x=x0 是函数 f(x) 的二阶不动点。容易发现，对于一阶不动点 x=x0 ，有 f(f(x0))=f(x0)=x0 ，因此一阶不动点必然是二阶不动点。

在几何上，曲线 y=f(x) 与曲线 y=x 的交点的横坐标即为函数 f(x) 的不动点。

一般地，数列 {xn} 的递推式可以由公式 xn+1=f(xn) 给出，因此可以定义递推数列的不动点：对于递推数列 {xn} ，若其递推式为 xn+1=f(xn) ，且存在实数 x0 ，使得 f(x0)=x0 ，则称 x0 是数列 {xn} 的不动点。

数列不动点的性质：

若从某一项 xk 开始，数列的取值即为 x0 ，也即 xk=x0 ，则 xk+1=f(xk)=f(x0)=x0 ， xk+2=f(xk+1)=f(x0)=x0 ，以此类推，根据数学归纳法，可以得到当 n≥k 时， xn=x0 ，也即数列 {xn} 在 k 之后“不动”了。

有时候，数列 {xn} 中的值可能无法取到 x0 ，但是会“接近” x0 ，也即收敛于 x0 。所谓“收敛”是指当 n 充分大时，数列 {xn} 趋向于某个值 x ，也即 limn→∞xn=x ，代入递推式即可得到 f(x)=x 。