Question

设矩阵A=[422;242;224],1、求矩阵A的所有特征值与特征向量；2、求正交矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵。

Answer 1

|A-λE|=(8-λ)(2-λ)^2
A的特征值为2,2,8
(A-2E)x=0的正交的基础解系为 a1=(1,-1,0)^T,a2=(1,1,-2)^T
所以属于特征值2的全部特征值为 k1a1+k2a2, k1,k2是不全为零的任意常数
(A-8E)x=0的基础解系为 a3=(1,1,1)^T
所以属于特征值8的全部特征值为 k3a3, k3是非零的任意常数

将a1,a2,a3单位化得b1,b2,b3构成正交矩阵P
则P^-1AP=diag(2,2,8)

Answer 2

|A-λE|=(8-λ)(2-λ)^2；

A的特征值为2,2,8；

(A-2E)x=0的正交的基础解系为 a1=(1,-1,0)^T,a2=(1,1,-2)^T；

所以属于特征值2的全部特征值为 k1a1+k2a2, k1,k2是不全为零的任意常数。

(A-8E)x=0的基础解系为 a3=(1,1,1)^T；

所以属于特征值8的全部特征值为 k3a3, k3是非零的任意常数。

将a1,a2,a3单位化得b1,b2,b3构成正交矩阵P；

则P^-1AP=diag(2,2,8)。