求解立体几何
四面体S-ABC,SA=BC,SB=AC,SC=AB,其外接球球心为O,SO与SA,SB,SC所成角为αβγ,则sinα(sinβ+2sinγ)的最大值为...
四面体S-ABC,SA=BC,SB=AC,SC=AB,其外接球球心为O,SO与SA,SB,SC所成角为αβγ,则sinα(sinβ+2sinγ)的最大值为
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如图，易知sin²α+sin²β+sin²γ=1
所以，
sinα(sinβ+2sinγ)
=(1/√5)[√5sinα(sinβ+2sinγ)]
≤(1/√5)[(√5sinα)²+(sinβ+2sinγ)²]/2
≤(1/√5)[(5sin²α+(1+4)(sin²蔽晌β+sin²γ)]/2
=√5/2
等号在√5sinα=(sinβ+2sinγ)且2sinβ=sinγ即
sinα=√2/2，sinβ=√丛并樱10/10，sinγ=√10/5成立
所以，
sinα(sinβ+2sinγ)的最渗丛大值为√5/2
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东莞大凡
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