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用C（m，n）（其中m<=n）表示n个里面取m个的组合数。用二项式定理：（1+1/n）^n=1+C（1，n）/n+C（2，n）/n^2+C（k，n）/n^k+1/n^n=1+1+C（2，n）/n^2+C（k，n）/n^k+1/n^n。
考虑展开式通项：C（k，n）/n^k=n！/［k！（n-k）！n^k］=（1/k！）{n！/［（n-k）！n^k］}。
而n！/［（n-k）！n^k］=n（n-1）（n-k+1）/n^k=（n-1）（n-k+1）/n^（k-1）<1（由于分子是由n-1个小于n的数相乘，分母是n-1个n相乘）因此C（k，n）/n^k<1/k！所以（1+1/n）^n<3。
含义
和整数一样，正整数也是一个可数的无限集合。在数论中，正整数，即1、2、3……；但在集合论和计算机科学中，自然数则通常是指非负整数，即正整数与0的集合，也可以说成是除了0以外的自然数就是正整数。正整数又可分为质数，1和合数。正整数可带正号（+），也可以不带。
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用C(m,n)(其中m<=n)表示n个里面取m个的组合数.用二项式定理:(1+1/n)^n=1+C(1,n)/n+C(2,n)/n^2+...+C(k,n)/n^k+...+1/n^n=1+1+C(2,n)/n^2+...+C(k,n)/n^k+...+1/n^n
考虑展开式通项:C(k,n)/n^k=n!/[k!(n-k)!n^k]=(1/k!){n!/[(n-k)!n^k]}而n!/[(n-k)!n^k]=n(n-1)...(n-k+1)/n^k=(n-1)...(n-k+1)/n^(k-1)<1(由于分子是由n-1个小于n的数相乘，分母是n-1个n相乘）因此C(k,n)/n^k<1/k!所以1+C(1,n)/n+C(2,n)/n^2+...+C(k,n)/n^k+...+1/n^n<1+1+1/2!+1/3!+...+1/k!+...+1/n!=(1+1)+(1/2!)[1+1/3+1/(3*4)+1/(3*4*5)+...+1/(3*4*...*n)]<2+(1/2)(1+1/3+1/3^2+1/3^3+...+1/3^(n-2)]=2+(1/2)[1-1/3^(n-1)]/(1-1/3)<2+(1/2)/(1-1/3)=2+3/4=11/4<3不等式得证.所以(1+1/n)^n<3
考虑展开式通项:C(k,n)/n^k=n!/[k!(n-k)!n^k]=(1/k!){n!/[(n-k)!n^k]}而n!/[(n-k)!n^k]=n(n-1)...(n-k+1)/n^k=(n-1)...(n-k+1)/n^(k-1)<1(由于分子是由n-1个小于n的数相乘，分母是n-1个n相乘）因此C(k,n)/n^k<1/k!所以1+C(1,n)/n+C(2,n)/n^2+...+C(k,n)/n^k+...+1/n^n<1+1+1/2!+1/3!+...+1/k!+...+1/n!=(1+1)+(1/2!)[1+1/3+1/(3*4)+1/(3*4*5)+...+1/(3*4*...*n)]<2+(1/2)(1+1/3+1/3^2+1/3^3+...+1/3^(n-2)]=2+(1/2)[1-1/3^(n-1)]/(1-1/3)<2+(1/2)/(1-1/3)=2+3/4=11/4<3不等式得证.所以(1+1/n)^n<3
追问
这个办法很好（屌爆了！），那还可不可以用函数的方法证明？（求导，再求最大值）只要给出求最大值的部分就可以了。我自己求了下，导数恒正，然后就纠结了……
追答
函数方法当然更简单了，需要求导，函数单调增加的。不过需要借助 （1+1/n)^n的极限为e
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换元法，让y等于1/n，然后用高数的定律证明，那个等式等于2.7......就是e
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追问
高数的什么定理？（具体些，我是高中生，还没接触过高等数学）
追答
哦哦……你不说你是高中生，我怎么知道啊……晚上给你，邮箱给我
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