求证:对于一切正整数有 1/n+1+1/n+2+.+1/2n>=2n/3n+1
求证:对于一切正整数有 1/n+1+1/n+2+.+1/2n>=2n/3n+1
实际上，我们需要观察，为什么右边分母会出现3n+1，这个可以看出来，是因为首尾分数的分母一加就可以得到，所以我们先来看首尾的分数：1/（n+1），1/（2n），那么我们会想：
1/（n+1）+1/（2n）≥？/（n+1+2n）=？/(3n+1);这个？是什么常数呢？比较简单，对于任意的正数a，b，有1/a+1/b≥4/(a+b),相信这个不等式难不倒你了吧。
得到这个结论后，反推出1/（n+1）+1/（2n）≥4/(3n+1);这样，我们可以把1/（n+1）+1/（n+2）+.....+1/2n倒过来与它本身相加，这样都可以应用上面的公式，就有2（1/（n+1）+1/（n+2）+.....+1/2n）≥n（4/(3n+1)）；化简后就是结论
求证:n属于正整数,1/(n+1)+1/(n+2)~~+1/2n>=2n/3n+1
用数学归纳法，当n=1时不等式成立。若结论对n成立，则有1/(n+2)+...+1/2n+1/2n+1+1/(2n+2)>=2n/(3n+1)+1/(2n+1)+1/(2n+2)-1/(n+1)=2n/(3n+1)+1/(2n+1)-1/(2n+2)=2n/(3n+1)+1/(2n+1)(2n+2)>(2n+2)/(3n+4)，最后一个不等式是因为(倒推)1/(2n+1)(2n+2)>(2n+2)/(3n+4)-2n/(3n+1)，等价于1/(2n+1)(2n+2)>2/(3n+4)(3n+1)等价于9n^2+15n+4>8n^2+12n+4
求证1/n+1+1/n+2+.+1/3n+1>1(n属于正整数)
用数学归纳法证明
当n=1时 左边=1/2+1/3+1/4=13/12>1，成立
假设n=k时成立 即1/(k+1)+1/(k+2)+1/(k+3)...+1/(3k+1)>1
当n=k+1时 即要证明 1/(k+2)+1/(k+3)+...+1/(3k+1)+1/(3k+2)+1/(3k+3)+1/(3k+4)>1
式子里比n=k的式子的左边多了 1/(3k+2)+1/(3k+3)+1/(3k+4)，少了1/(k+1)
所以 只需要证明 1/(3k+2)+1/(3k+3)+1/(3k+4)>1/(k+1)即可
而 1/(3k+2)+1/(3k+3)+1/(3k+4)
=1/(3k+3)+(3k+4+3k+2)/(3k+2)(3k+4)
=1/(3k+3)+(6k+6)/(9k²+18k+8)
＞1/(3k+3)+(6k+6)/(9k²+18k+9)
=1/(3k+3)+(6k+6)/(3k+3)²
=1/(3k+3)+2/(3k+3)
=1/(k+1)
所以 n=k+1时也成立
所以对一切正整数n，均有1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(3n+1)>1
1/n+1+1/n+2+1/n+3+.+1/2n>m/24n对于一切n∈n都成立,则正整数m的最大值为
1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+...+1/2n的每一项都>=1/2n,共有n个，
所以1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+...+1/2n>n*1/2n=1/2,
令m/24n=1/2的m=12n，m的最大值为12n。
求证：1/n+1+1/n+2+/1n+3+.+1/2n>1/2
1/(n+1)>1/2n
1/(n+2)>1/2n
…
1/(2n-1)>1/2n
1/2n=1/2n
相加得出
1/n+1+1/n+2+/1n+3+......+1/2n>1/2n+1/2n+…+1/2n=1/2n乘以n=1/2
所以
1/n+1+1/n+2+/1n+3+......+1/2n>1/2
求证，对于一切n属于正整数，都有2《(1+1/n)^n<3
8。当n属于正整数时，求证：2≤[1+（1/n ）]^n≤3。
证明：[1+（1/n ）]^n=1+C[n](1)•(1/n)+C[n](2) •(1/n) ^2+ C[n](3) •(1/n) ^3+…+ C[n](n-2) •(1/n) ^(n-2)+ C[n](n-1) •(1/n) ^(n-1)+ C[n](n) •(1/n) ^n
=2+(n-1)/(2n)+(n-1)(n-2)/(6n^2)+….+(n-1)/[2(n-1) ^(n-3)]+1/[n^(n-2)]+ 1/(n ^n)＞2
关于[1+（1/n ）]^n≤3用数学归纳法
1/n+1 + 1/n+2 + 1/n+3 +.+1/2n>a对于一切大于1的自然数n都成立, 求a的范围
由柯西不等式：
[(n+1)+(n+2)+...+(2n)][1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n)]>(1+1+...+1)^2=(n)^2{注，一共有n个1,而且等号显然不成立}
而由等差数列求和公式有：(n+1)+(n+2)+...+(2n)=（2n+n+1）n/2=(3n+1)n/2
于是1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(3n)>(2n^2)/[n(3n+1)]=2n/(3n+1)
所以a<=2n/(3n+1)<2/3
即
a的取值范围是（-∞，2/3）
证明对于一切n属于正整数都有e^2n-1/e^2-1>2n^3/3+n/3恒成立
当n属于正整数时，求证：2≤[1+（1/n ）]^n≤3。
证明：[1+（1/n ）]^n=1+C[n](1)•(1/n)+C[n](2) •(1/n) ^2+ C[n](3) •(1/n) ^3+…+ C[n](n-2) •(1/n) ^(n-2)+ C[n](n-1) •(1/n) ^(n-1)+ C[n](n) •(1/n) ^n
=2+(n-1)/(2n)+(n-1)(n-2)/(6n^2)+….+(n-1)/[2(n-1) ^(n-3)]+1/[n^(n-2)]+ 1/(n ^n)＞2
关于[1+（1/n ）]^n≤3用数学归纳法
n属于正整数,求证1/(n+1)+1/(n+2)~~+1/2n<3/4
令左边＝A，则倒序相加得到
2A＝
（1/(n+1)+1/(n+2)~~+1/2n）
+（1/(2n) +1/(2n-1)+……+1/(n+1))
可以证明：1/(n+k)+1/(n+n-k+1)<1/(n+1)+1/(2n);k=2,3,4,……n-1;
(通分，两边分子相同，前者分母减后者分母>0）
所以2A<n[1/(n+1)+1/(2n)]<3/2
所以A〈3/4
