Question

如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，

OA=10，OC=8在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标

Answer 1

设OD=x
△ABE中有
AB²+BE²=AE²=100
因为AB=OC，可得出BE=6
因此CE=4
△CDE中有
CE²+CO²=ED²=OD²
CO=OC-OD=8-x
解得x=5
即OD=5

即D（0,5）
E（4,8）

Answer 2

∵ 将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处
=>AE=AO=10,OD=DF,DC=8-OD
=>BE=√(100-64)=6
=>CF=10-6=4
∵DF²=CF²+CD²
∴OD²=16+(8-OD)²
=>OD=5
∴D(0,5),E(4,8)

Answer 3

由折叠知：AE=OA=10，
在RTΔABE中，BE=√(AE^2-AB^2)=6，
∴AE=4，
设OD=DE=m，则CD=8-m，
在RTΔCDE中，DE^2=CD^2+CE^2，
m^2=(8-m)^2+16，m=5，
∴D(0，5)，E(4，8)。

Answer 4

设D(0,b)，E(a，8)
∴OD=b，CD=OC-OD=8-b
OD=DE=b，AE=AO=10
CE=a，BE=BC-CE=10-a
Rt△CDE，Rt△ABE中
(8-b）^2+a^2=b^2
(10-a)^2+8^2=10^2
∴a=4、b=5

Answer 5

（分析：1）根据折叠知∠CDE=∠B=90°，根据等角的余角相等得到∠CDO=∠AED，再结合一对直角，即可证明两个三角形相似；
（2）首先应求得点E的坐标，根据折叠知DE=BE，根据tan∠EDA=34，设AE=3t，则AD=4t，再根据勾股定理表示出DE=5t，即BE=5t，所以OC=AB=8t，再根据（1）中的两个相似三角形得到CD=10t，从而在直角三角形CDE中，根据勾股定理列方程计算．求得点E的坐标后，用待定系数法求得直线CE的解析式，再进一步求得与x轴的交点P的坐标．

解答：解：（1）△OCD与△ADE相似．
理由如下：
由折叠知，∠CDE=∠B=90°，
∴∠EDA+∠CDO=90°，
∵∠EDA+∠DEA=90°，
∴∠CDO=∠DEA，
又∵∠COD=∠DAE=90°，
∴△OCD∽△ADE；
（2）∵tan∠EDA=AEAD=34，
∴设AE=3t，则AD=4t，
由勾股定理得DE=5t，
∴OC=AB=AE+EB=AE+DE=8t，
由（1）△OCD∽△ADE，得OCAD=CDDE，
∴8t4t=CD5t，
∴CD=10t，
在△DCE中，∵CD2+DE2=CE2，
∴（10t）2+（5t）2=（55）2，
解得t=1，
∴OC=8，AE=3，点C的坐标为（0，8），
点E的坐标为（10，3），
设直线CE的解析式为y=kx+b，
∴10k+b=3b=8，解得：k=-12b=8，
∴y=-12x+8，
令y=0，得到x=16，
则点P的坐标为（16，0）．

点评：掌握相似三角形的性质和判定，能够熟练运用勾股定理、锐角三角函数的概念、待定系数法求得函数的解析式．