Question

已知函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d的图像过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为y=7.

若方程f(x)-k=0有三个不同的解，求k的取值范围。

Answer 1

(1)确定系数：①将（0,2）代入得2=d

                      ②求导得f'(x)=3x^2+2bx+c,当x=-1时，f'(x)=0,。解得2b-c=3.

                      ③题目隐含条件是M坐标为(-1,7)，代入得7=-1+b-c+d。

                  三式联立解得b=-3,c=-9,d=2。

(2)f(x)=x^3-3x^2-9x+2，f'(x)=3x^2-6x-9.

    由f'(x)的正负可求得f(x)在（-∞，--1），（3，+∞）上单调递增，在（-1,3）上单调递减。

   f(-1)=7,f(3)=-25。

下面是草图，移动y=k这条直线，很容易界定k的范围，得-25<k<7。

Answer 2

f(0)=d=2 ；
f(-1)= -1+b-c+d=7 ；
f '(x)=3x^2+2bx+c ，f '(-1)=3-2b+c=0 ，
以上三式可解得 b= -3 ，c= -9 ，d=2 ，
因此 f(x)=x^3-3x^2-9x+2 ，
则 f '(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3) ，
极值点 x1= -1 ，x2=3 ，
由 f(-1)=7 ，f(3)= -25 ，得 -25<k<7 。