Question

如图,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A出发,沿AB以4cm/s的速度向点B运动:同时点Q从C点出发,沿CA以3cm

如图,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A出发,沿AB以4cm/s的速度向点B运动:同时点Q从C点出发,沿CA以3cm/s的速度向A点运动，设运动时间为x（s）
（1）当X＝10\3求S△APQ\S△ABC
（2）△APQ能否与△CQB相似，若能，求出AP的长，若不能请说明理由

Answer 1

解：
（1）AP=4x,QC=3x.AB=BC=20,AC=30,所以：AQ=30-3x

当x=10/3时，AP=40/3，QC=10，AQ=20
S△APQ/S△ABC=1/2AQ*APsinA/1/2AC*ABsinA=AQ*AP/AC*AB=(20*40/3)/(30*20)=4/9

（2）能。有二种情况

当△APQ∽△CQB时，有

①AP/CQ=AQ/BC=4/3
②AP/BC=AQ/CQ=4x/20=(30-3x)/3x

 

当①当AP/CQ=AQ/BC=4/3时
(30-3x)/20=4/3

x=10/3

AP=4x=40/3厘米

 

当②AP/BC=AQ/CQ=4x/20=(30-3x)/3x

4x^2=200-20x

x^2+5x-50=0

(x+10)(x-5)=0

x=5，AP=4x=20厘米

x=-10(不合题意，舍去）

Answer 2

（1）AP=4x,QC=3x.AB=BC=20,AC=30,所以：AQ=30-3x
当PQ‖BC时，有AP/AB=AQ/AC
即：4x/20=(30-3x)/30
解得：x=10/3
即：当运动时间是10/3秒时，PQ‖BC
（2）由S△BCQ：S△ABC=1：3得知：QC=(1/3)AC=10,且S△BCQ=(1/3)S△ABC
所以：Q,P的运动时间为10/3
由（1）题知，此时PQ与BC恰好平行。
所以：△ABC∽△APQ
所以：S△APQ/S△ABC=(20/30)^2=4/9
即：S△APQ=(4/9)S△ABC
所以：S△PBQ=S△ABC-S△APQ-S△BQC=S△ABC-(4/9)S△ABC-(1/3)S△ABC=(2/9)S△ABC
所以：S△BPQ：S△ABC=2：9