Question

已知抛物线y=x²+mx-3/4m²（m>0）与x轴交于A、B两点

已知抛物线y=x²+mx-3/4m²（m>0）与x轴交于A、B两点 （1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧；
（2）若1／OB－1／OA=2／3(O是坐标原点)，求抛物线的解析式；
（3）设抛物线与y轴的交于点C,若△ABC是直角三角形,求△ABC的面积

Answer 1

解：(1).证明：由于y=x²+mx-3/4m²=(x+m/2)²-m²/4-3m²/4=(x+m/2)²-m²;
该抛物线对称轴为x=-m/2; m>0; 故该抛物线的对称轴在y轴的左侧；
(2).x²+mx-3/4m²=（x+m/2)²-m²=(x+m/2+m)(x+m/2-m)=(x+3m/2)(x-m/2)=0;
x1=-3m/2; x2=m/2; 由于1/OB-1/OA=2/3;故1/OB>1/OA; OA>OB; 所以：A(-3m/2,0);
B(m/2,0); OB=m/2; OA=3m/2; 1/OB-1/OA=2/m-2/(3m)=2/3;
6-2=2m=4; m=2; 故该抛物线解析式为：y=x²+2x-3;
(3).令x=0,则y=-3m²/4; 故 C(0,-3m²/4); 由（2)知：A(-3m/2,0); B(m/2,0);
AC²=9m²/4+9m^4/16; BC²=m²/4+9m^4/16; AB²=(m/2+3m/2)²=4m²;
当AC²+BC²=AB²时 ；5m²/2+9m^4/8=4m²; 5/2+9m²/8=4; 20+9m²=32; m²=12/9;
m=2√3/3；
当AC²=BC²+AB²时，9m²/4+9m^4/16=m²/4+9m^4/16+4m²;2m²=4m²; m=0; 这是不可能的;
故:m=2√3/3;m²=4/3; AB²=16/3; AC²=4; BC²=4/3; ;
AB=4/√3; AC=2; BC=2/√3; C为直角; △ABC的面积=AC×BC/2=2/√3=2√3/3;