Question

如图，抛物线y＝x 2－2x＋k与x轴交于A、B两点，与y轴交于 点C（0，－3（1）k＝ ，点A的坐标为 ，

点B的坐标为 ；
（2）设抛物线y＝x 2－2x＋k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的
面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在抛物线y＝x 2－2x＋k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边
的直角三角形．

Answer 1

抛物线的方程为：y=x^2-2x+k=(x-1)^2+k-1
把C点（0.-3）带入抛物线。解得：k=-3
所以点A为（-1,0）B（3.0）
抛物线的方程为：y=x^2-2x-3
所以顶点为（1，-4）
所以四边形ABMC面积=面积（三角形AOC+三角形OCB+三角形CMB）
Saoc=1/2X1x3=3/2 Socb=1/2X3x3=9/2
这里比较难的是MCB的面积
直线BC的方程为：x-y-3=0
点M到直线BC的距离h=根号2 ，BC的长度=3跟号2
Smbc=1/2X根号2X3跟号2=3
所以四边形ABMC的面积=3/2+9/2+3=9
3)讲思路，计算量太大了
ACDB的面积=三角形ACB+三角形BCD=6+三角形BCD
设抛物线上的点为N（x,y)（y小于0
点N到直线BC的距离=绝对值（x-y-3）/根号2 第一步
因为点D在抛物线上，所以y=x^2-2x-3 带入第一步得：
绝对值（x^2-3x）/根号2
这里得：绝对值（x-3/2)^2-9/4)/根号2
这里很明显，当x=3/2时，有最大值9/4
当x=3/2带入y=x^2-2x-3，解得y=-15/4
所以点D的坐标为：3/2,-15/4)这里三角形的面积就不求了。过程有点快。
4），的意思是求点Q。令CQ垂直BQ
斜率Kcq=b+3/a Kbq=b/a-3
设Q（a，b）（这里用a，b代替。因为前面已经用了x，y.只是为了方便计算而已,呢在计算的时候就用x1，y1）
两条直线互相垂直就是b+3/a）X（b/a-3）=-1
整理得：b（b+3）=-a（a-3）
因为点Q在抛物线上，所以b=a^2-2a-3
联立2个方程就可以解得a，b等于多少，那就是Q的坐标。
这道题不难，整体思路就是这样。过程均是口算，自己慢慢验算过程答案。
有不明白的地方请追问。

Answer 2

解：∵抛物线y=x^2-2x+k与y轴交于C（0，-3）
∴f(0)=k=-3
∴抛物线为：y=x^2-2x-3
=(x-1)^2-4
∴A、B点坐标分别为（-1,0）、（3,0）
∴抛物线顶点M坐标为（1，-4）
S△AOC=1*3/2
=3/2
设抛物线对称轴x=1交于x轴为N
则：四边形CONM=（4+3）*1/2
=7/2
S△MBN=2*4/2
=4
∴四边形ABMC面积=S△AOC+S△MBN+四边形CONM
=（3/2)+4+(7/2)
=9
当ABDC成梯形时面积最大，且面积=（4+2）*3/2
=9
此时D点坐标为（2，-3）
直线BC的方程为：y=x-3
∴与BC垂直的直线斜率k=-1
如果过B点，则直线BQ为：y=-x+3
直线y=-x+3与抛物线的交点Q，则通过联立y=-x+3,y=x^2-2x-3解得：
x=-2.x=3(B点坐标，舍去）
y=5
∴Q点坐标为（-2,5）
如果过C点，则直线CQ为：y=-x-3
同理，联立CQ与抛物线解得：x=1,x=0(C点坐标，舍去）
∴y=-2
∴Q点坐标为（1，-2）
∴使△BCQ以BC为直角边的RT三角形的Q点为（-2,5)或（1，-2）。