Question

数列{an}的前n项和为Sn,且an+Sn=1,1,求数列{an}的通项公式，2，设数列{bn}满足：bn=1/an +1,

,又cn=1/a(n+1)*bn*b(n+1) ,且数列{cn}的前n项和为Tn,求证：Tn＜2/3

Answer 1

1.
n=1时，a1+S1=2a1=1
a1=1/2
n≥2时，an+Sn=1
Sn=1-an S(n-1)=1-a(n-1)
Sn-S(n-1)=an=1-an-1+a(n-1)
2an=a(n-1)
an/a(n-1)=1/2，为定值。
数列{an}是以1/2为首项，1/2为公比的等比数列。
an=(1/2)(1/2)^(n-1)=1/2ⁿ
数列{an}的通项公式为an=1/2ⁿ。
2.
bn=1/an +1=1/(1/2ⁿ)+1=2ⁿ+1
cn=1/[a(n+1)bnb(n+1)]=2ⁿ/[(2ⁿ+1)(2^(n+1)+1)]=1/(2ⁿ +1) -1/[2^(n+1) +1]
Tn=c1+c2+...+cn
=1/(2+1)-1/(2²+1)+1/(2²+1)-1/(2³+1)+...+1/(2ⁿ+1) -1/[2^(n+1) +1]
=1/3 -1/[2^(n+1) +1]<1/3<2/3

追问

由1/[a(n+1)bnb(n+1)]推到2ⁿ/[(2ⁿ+1)(2^(n+1)+1)]看不懂。a(n+1)=1/2^(n+1)
已会了，