Question

【线性空间相关定义】线性空间的定义

Answer 1

线性空间相关定义

简单的说，线性空间是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数，也可以是任意给定域中的元素）相乘后得到此集合内的另一元素。

域的概念：

设F 是一个非空集合，在F 中定义加法和乘法两种运算，且这两种运算对F 来说是封闭的，也就是说，对F 中的任意两个元素a ，b ，a+b和ab 仍属于F ，如果加法和乘法运算满足以下运算规则，则称F 对所规定的加法和乘法运算作成一个域：

Ⅰ.1 对F 中任意两个元素a ，b ，有 a+b=b+a

2 对F 中任意三个元素a ，b ，c ，有 (a+b)+c=a+(b+c)

3 F中存在一个元素，我们把它记作0，使得对F 中的任意元素a ，有 a+0=a

4 对F 中的任意元素a ，在F 中存在一个元素，我们把它记作-a ，有 a+(-a)=0

Ⅱ.1 对F 中任意两个元素a ，b ，有 ab=ba

2 对F 中任意三个元素a ，b ，c ，有 (ab)c=a(bc)

3 F 中存在一个≠0的元素，我们把它记作e ，使得对F 中的任意元素a ，有 ae=a

4 对F 中任意≠0的元素a ，在F 中存在一个元素，我们把它记作a‘(因为这里显示不了a 的负一次方，所以用a’代替) ，有 aa"=e Ⅲ 对F 中任意三个元素a ，b ，c ，有 a(b+c)=ab+ac

常见的域有：复数域C 、实数域R 、有理数域Q ，但是自然数集N 和整数集Z 都不是域。

线性空间定义：

设V 是一个非空集合，F 是一个数域，在集合V 的元素之间定义一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V 中任意两个元素x 和y ，在V 中都有唯一的一个元素z 与他们对应，称为x 与y 的和，记为z=x+y．在数域F 与集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域F 中任一数k 与V 中任一元素x ，在V 中都有唯一的一个元素y 与他们对应，称为k 与x 的数量乘积，记为y=kx。如果加法与乘法还满足下述规则，那么V 称为数域F 上的线性空间．

1. V对加法成Abel 群，即满足：

（1）（交换律）x+y=y+x；

（2）（结合律）（x+y）+z=x+（y+z）

（3）（零元素）在V 中有一元素0，对于V 中任一元素x 都有x+0=x；

（4）（负元素）对于V 中每一个元素x ，都有V 中的元素y ，使得x+y=0；

2. 数量乘法满足：

（5）1x=x；

（6）k(lx)=(kl)x；

3. 数量乘法和加法满足：

（7）（k+l）x=kx+lx；

（8）k （x+y）=kx+ky．

其中x ，y ，z 为V 中任意元素，k ，l 为数域F 中的任意元素，1是F 的乘法单位元。

数域F 称为线性空间V 的系数域或基域，F 中元素称为纯量或数量（scalar ），V 中元素称为向量（vector ）。

当系数域F 为实数域时，V 称为实线性空间。当F 为复数域时，V 称为复线性空间。

简单性质

（1）V 中零元素（或称0向量）是唯一的。

（2）V 中任一向量x 的负元素（或称负向量）是唯一的。

（3）kx=0（其中k 是域F 中元素，x 是V 中元素）当且仅当k=0或x=0。

（4）(-k)x=-(kx)=k(-x)。

例子

1. 域F 上m×n矩阵全体，按矩阵的加法与数乘是F 上线性空间。

2. 复数域C 是实数域R 上的线性空间。

3. 域F 上次数小于n 的多项式形式全体是F 上的线性空间。

4. 连续实变函数全体按函数的加法和数与函数的乘法是实数域R 上的线性空间。