Question

求解微分方程： (1) 2yy‘‘=(y‘)^2+y^2 (2) yy‘‘+(y‘)^2+2x=0

Answer 1

这两题都可以化成全微分求解 。

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Answer 2

1）令p=y'
则 y"=pdp/dy
代入得：2ypdp/dy=p^2+y^2
2dp/dy=p/y+y/p
设p/y=u,p=yu. p'=u+yu'代入：
2u+2yu'=u+1/u，2yu'=-u+1/u
-2udu/(1-u^2)+dy/y=0
得：y(1-u^2)=C1 1-C1/y=p^2/y^2
p=±√(y^2-C1y)
dy/√(y^2-C1y)=±dx,
dy/√[(y-C1/2)^2-(C1^2/4)]=±dx
积分：arcsin[(y-C1/2)/(C1/2)]=±x+C2

2)
(yy')'=-2x
积分：yy'=-x^2+C1
2yy'=-2x^2+2C
(y^2)'=-2x^2+C1
积分：
y^2=-2x^3/3+C1x+C2

Answer 3

1.
y'=p y''=pdp/dy
2ypdp/dy=p^2+y^2
2dp/dy=p/y+y/p
设p/y=u,p=yu. p'=u+yu'代入：
2u+2yu'=u+1/u，2yu'=-u+1/u
-2udu/(1-u^2)+dy/y=0
解得：y(1-u^2)=C1 1-C1/y=p^2/y^2
p=±√(y^2-C1y)
dy/√(y^2-C1y)=±dx,
dy/√[(y-C1/2)^2-(C1^2/4)]=±dx
积分得通解：arcsin[(y-C1/2)/(C1/2)]=±x+C2
2：
(yy')'+2x=0
积分得：yy'+x^2=C1
(y^2)'/2+x^2=C1
积分得通解：
y^2/2+x^3/3=C1x+C2